Про лінійні системи з квазіперіодичними коефіцієнтами та обмеженими розв'язками

Abstract

For a discrete dynamical system ω n =ω0+αn, where a is a constant vector with rationally independent coordinates, on thes-dimensional torus Ω we consider the setL of its linear unitary extensionsx n+1=A(ω0+αn)x n , whereA (Ω) is a continuous function on the torus Ω with values in the space ofm-dimensional unitary matrices. It is proved that linear extensions whose solutions are not almost periodic form a set of the second category inL (representable as an intersection of countably many everywhere dense open subsets). A similar assertion is true for systems of linear differential equations with quasiperiodic skew-symmetric matrices.

Для дискретної динамічної системи ωn=ω0+αn (α — сталий вектор з раціонально незалежними координатами) на k-вимірному торі Ω розглядається множина L її лінійних унітарних розширень xn+1=A(ω0+αn)xn де A(Ω) - неперервна функція на торі Ω зі значеннями в просторі m-вимірних унітарних матриць. Доводиться, що в L множину другої категорії (перетин зліченної множини скрізь щільних відкритих підмножин) утворюють розширення, розв'язки яких не майже періодичні. Аналогічне твердження справедливе для систем лінійних диференціальних рівнянь з квазіперіодичними кососиметричними матрицями.