Аналитическое решение задачи о падении шара, радиус которого убывает по дробно-линейному закону

Abstract

В работе поставлена цель построения математической модели движения шара переменного радиуса и массы. Методом исследования выбран аналитический способ решения задачи Коши для нелинейного уравнения движения с переменными коэффициентами. Впервые в цилиндрических функциях построено замкнутое аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения вертикального падения сферического тела переменной массы при дробно-линейном убывании его радиуса во времени и квадратичном сопротивлении воздушной среды. Исследована асимптотика поведения решения.

В роботі поставлена мета побудови математичної моделі руху кулі змінного радіуса та маси. Методом дослідження обрано аналітичний спосіб розв’язання задачі Коші для нелінійного рівняння руху зі змінними коефіцієнтами. Вперше в циліндричних функціях побудовано замкнутий аналітичний розв’язок нелінійного диференціального рівняння вертикального падіння сферичного тіла змінної маси при дробово-лінійному убуванні його радіуса з часом та квадратичному опорі повітряного середовища. Досліджено асимптотику поведінки розв’язку.

The paper deals with building a mathematical model of motion of the sphere with variable radius and mass. The analytical method for solving the Cauchy problem for a nonlinear equation of motion with variable coefficients is the research method. For the first time a closed analytic solution of a nonlinear differential equation of a vertical fall of a spherical variable-mass body is built in cylindrical functions when its radius is reduced fractionally and linearly in time and quadratic resistance of the air environment. The asymptotic behavior of solutions is investigated.