Распространение нелинейных неустановившихся поверхностных гравитационных волн над неровным дном

Abstract

Представлены некоторые математические модели волновой гидродинамики прибрежной зоны шельфа и численные решения, демонстрирующие новые характерные эффекты взаимодействия нелинейных волн на воде с донным рельефом. Исходя из точной двумерной постановки, включающей уравнение Лапласа для потенциала скоростей, нелинейные условия на свободной поверхности и условия на донной поверхности, получены нелинейно-дисперсионные асимптотические аппроксимации, описывающие распространение волн над донным рельефом. При этом предполагается, что параметр дисперсии b и градиент поверхности дна g малы, в то время как параметр нелинейности a предполагается произвольным в отличие от широко распространенных традиционных приближенных теорий. Представлена также нелинейная модель применительно к исследованию перемещения солёной морской воды, а также переформированию дна под действием волн, распространяющихся над неровным дном. Соответствующая начально-краевая задача решается методом конечных разностей для заданных многократно проходящих от входа волновых импульсов типа полусинусоиды. Кроме того, аналогичная задача рассматривается на основе уравнения КдВ при задании на входе солитона. Представлены результаты численных расчётов и их анализ.

Представлено деякi математичнi моделi хвильової гiдродинамiки прибережної зони шельфу i чисельнi розв'язки, що демонструють новi ефекти взаємодiї хвиль на волi з донним рельєфом. Виходячи з точної двовимiрної постановки, що включає рiвняння Лапласа для потенцiалу швидкостей, нелiнiйнi умови на вiльнiй поверхнi й умови на доннiй поверхнi, одержанi нелiнiйно-дисперсiйнi асимптотичнi апроксимацiї, що описують поширення хвиль над донним рельєфом. При цьому вводяться припущення, що параметр дисперсiї b i градiєнт поверхнi дна g малi, в той час як параметр нелiнiйностi a покладається довiльним на вiдмiну вiд широко поширених традицiйних наближених теорiй. Представлена також нелiнiйна модель стосовно дослiдження перемiщення солоної морської води, а також переформування дна пiд дiєю хвиль, що поширюються над нерiвним дном. Вiдповiдна початково-крайова задача розв'язується методом скiнченних рiзниць для заданих багатократних хвильових iмпульсiв типу пiвсинусоїди, що генеруються на входi. Крiм цього, аналогiчна задача розглядається на основi рiвняння КдВ при заданнi на входi солiтона. Представлено результати чисельних розрахункiв та їх аналiз.

Some mathematical models of wave hydrodynamics of the shelf zone are presented. Corresponding numerical solutions demonstrating new characteristic effects of the interaction of nonlinear water waves with a bottom relief are obtained. The exact 2-D statement includes the Lapace equation for velocity potential, the nonlinear conditions on the free surface and the conditions on a bottom surface. On this basis nonlinear-dispersive asymptotic approximations describing wave propagation over a bottom relief are obtained. At that, it is assumed that the dispersion parameter b and the boottom surface gradient g are small, while the nonlinear parameter a is arbitrary value unlike widely spreading traditional approximate theories. Also, a nonlinear model to investigate a movement of salt sea water, as well as a bottom reforming due to waves propagating over an uneven bottom are presented. Corresponding initial-boundary value problem is solved by a finite-difference method for given multiincident wave pulses of the semi-sine form generated at inlet. Moreover, the similar problem is considered on the basis of KdV equation when solitons are given at inlet. The results of numerical calculations and their analysis are presented.