Обобщенные потенциалы в магнитной гидродинамике и динамике вращающейся жидкости

Abstract

На основе обобщенных потенциалов общее решение линеаризованной системы уравнений магнитной гидродинамики идеальной проводящей жидкости, находящейся в постоянном магнитном поле, в явном виде представлено через общие решения двух однородных волновых уравнений с альфвеновскими скоростями распространения сигналов и общее решение уравнения Лапласа. Проведено аналогичное преобразование линеаризованной системы уравнений магнитной гидродинамики диссипативной проводящей жидкости , также находящейся в постоянном магнитном поле. Задача сведена к решению трех независимых уравнений для трех обобщенных потенциалов. При наличии циклической координаты система уравнений магнитной гидродинамики диссипативной вращающейся жидкости в нелинейном случае сведена к системе четырех нелинейных уравнений в частных производных, служащей для определения функции тока, ее магнитного аналога и третьих компонент скорости и магнитного поля. Отмечено, что при отсутствии вращения эта система переходит в известную. Линеаризованная система уравнений динамики вращающейся жидкости в приближении мелкой воды сведена к одному линейному дифференциальному уравнению в частных производных третьего порядка, служащему для определения обобщенного потенциала. На основе полученного уравнения для обобщенного потенциала рассмотрена задача о сейшевых колебаниях в бассейне, глубина которого является кусочно-линейной функцией поперечной координаты. Проведено сравнение полученных результатов с результатами других авторов.

На основi узагальнених потенцiалiв загальний розв'язок лiнеаризованої системи рiвнянь магнiтної гiдродинамiки iдеальної провiдної рiдини, що знаходиться в постiйному магнiтному полi, в явному виглядi представлено через загальний розв'язок двох однорiдних хвильових рiвнянь з альфенiвськими швидкостями розповсюдження сигналiв i загальний розв'язок рiвняння Лапласа. Було проведено аналогiчне перетворення лiнеарiзованної системи рiвнянь магнiтної гiдродинамiки дисипативної провiдної рiдини, що також знаходиться в постiйному магнiтному полi. Задача зведена до рiшення трьох незалежних рiвнянь для трьох узагальнених потенцiалiв. При наявностi циклiчної координати система рiвнянь магнiтної гiдродинамiки дисипативної рiдини, що обертається, в нелiнiйному випадку зведена до системи чотирьох нелiнiйних рiвнянь в частинних похiдних, що служать для визначення функцiї течiї, її магнiтного аналога i третiх компонент швидкостi i магнiтного поля. Вiдмiчено, що при вiдсутностi обертання ця система переходить у вiдому. Лiнеаризована система рiвнянь динамiки рiдини, що обертається, в наближеннi мiлкої води зведена до одного лiнiйного диференцiйного рiвняння в частинних похiдних третього порядку, яке визначає узагальнений потенцiал. На основi одержаного рiвняння для узагальненого потенцiала розглянута задача про сейшелевi коливання в басейнi, глибина якого є кусочно-лiнiйною фуекцiєю поперечної координати. Було проведено порiвняння одержаних результатiв з результатами iнших авторiв.

Based on generalized potentials the general solution of the linearized system of magnetohydrodynamic equations of an ideally conductive fluid in a ststionary magnetic field is represented in terms of general solutions of two homogeneous wave equations with Alfven signal propagation speed and a general solution of the Laplace equation. Transformation of the linearized system of magnetohydrodynamic equations of a dissipative conductive fluid in stationary magnetic field is performed. If the cyclic coordinate exists the system of magnetohydrodynamic equations of dissipative rotating fluid in nonlinear case is reduced to the system of four partial differential nonlinear equations required for finding of the stream function, the magnetic analog of it and the third components of speed and magnetic field. This system is noted to transform into the known one at the absence of rotation. The linearized system of equations of rotating fluid dynamics in the "shallow-water" approximation is reduced to the one linear partial differential equation of third order that define the generalized potential. Based on the obtained equation for generalized potential the problem of seichual oscillations in a reservoir is considered when the reservoir depth is a piecewise function of a cross coordinate. Comparison between the obtained results and the results of other authors is performed.