Ультраметризация взвешенных графов

Abstract

Пусть (G,w) — взвешенный граф. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых вес w:E(G)→R^+ продолжается до псевдоультраметрики на V(G), получен критерий единственности такого продолжения. Доказано, что граф является полным k-дольным с k≥2 тогда и только тогда, когда для любого веса, продолжающегося до псевдоультраметрики, среди всех таких продолжений найдется наименьшая псевдоультраметрика. Дана структурная характеристика графов, для которых субдоминантная псевдоультраметрика является ультраметрикой для любого строго положительного веса, продолжающегося до псевдоультраметрики.

Нехай (G,w) — зважений граф. Знайдені необхідні і достатні умови, за яких вага w:E(G)→R^+ продовжується до псевдоультраметрики на V(G), отримано критерій єдиності такого продовження. Доведено, що граф є повним k-частковим з k≥2 тоді і тільки тоді, коли для будь-якої ваги, що продовжується до псевдоультраметрики, серед усіх таких продовжень знайдеться найменша псевдоультраметрика. Дано структурну характеристику графів, для яких субдомінантна псевдоультраметрика є ультраметрикою для будь-якої строго додатної ваги, що продовжується до псевдоультраметрики.

Let (G,w) be a weighted graph. The necessary and sufficient conditions under which the weight w:E(G)→R^+ can be extended to a pseudoultrametric on V(G) are found. A criterion of the uniqueness of this extension is also obtained. It is proved that a graph is a complete k-partite with k≥2 if and only if, for every pseudoultrametrizable weight w, there exists the smallest pseudoultrametric, agreed with w. We characterize the structure of graphs, for which a subdominant pseudoultrametric is an ultrametric for every strictly positive pseudoultrametrizable weight.