Смешанная проекционно-сеточная схема метода конечных элементов для решения краевых задач, описывающих неизотермические процессы упругопластического деформирования

Abstract

Сформулирована смешанная проекционно-сеточная схема решения краевой задачи термопластичности в квазистатической постановке, когда процесс неизотермического упругопластического деформирования тела представляет собой последовательность равновесных состояний. В этом случае напряженно-деформированное состояние зависит от истории нагружения, и процесс неупругого деформирования должен прослеживаться на всем рассматриваемом интервале времени. Исследованы корректность и сходимость смешанных аппроксимаций для напряжений, деформаций и перемещений применительно к решению нелинейных краевых задач, описывающих неизотермические процессы активного нагружения с учетом начальных деформаций, зависящих от истории деформирования и нагрева. Подробно изучены свойства проектирующих операторов и на этой основе сформулировано условие, обеспечивающее существование, единственность и устойчивость решения дискретной задачи. Представлены результаты анализа специальных формул численного интегрирования интерполяционного типа, применение которых существенно упрощает вычислительную процедуру решения уравнений смешанного метода. Оценки сходимости и точности базируются на результатах теории обобщенных краевых задач и методах функционального анализа. Согласно полученным оценкам точность решения конечномерной задачи на начальных этапах нагружения должна быть достаточной, чтобы не допустить влияния роста первых коэффициентов в разложении суммарной погрешности на точность решения упругопластической задачи на последующих этапах нагружения.

Сформульовано змішану проекційно-сіткову схему розв’язання крайової задачі термопластичності в квазістатичній постановці, коли процес неізотер- мічного пружно-пластичного деформування тіла є послідовність рівноважних станів. У цьому випадку напружено-деформований стан залежить від історії навантаження, і процес непружного деформування повинен прослідкову- ватися на усьому розглядуваному інтервалі часу. Досліджено коректність і збіжність змішаних апроксимацій для напружень, деформацій і переміщень стосовно розв’язання нелінійних крайових задач, що описують неізотер- мічні процеси активного навантаження з урахуванням початкових деформацій, залежних від історії деформування і нагрівання. Вивчено властивості проектуючих операторів і на цій основі сформульовано умову, яка забезпечує існування, єдиність і стійкість розв’язання дискретної задачі. Представлено результати аналізу спеціальних формул чисельного інтегрування інтерполяційного типу, завдяки використанню яких суттєво спрощується обчислювальна процедура розв’язання рівнянь змішаного методу. Оцінки збіжності і точності базуються на результатах теорії узагальнених крайових задач та методах функціонального аналізу. Згідно з отриманими оцінками точність розв’язування скінченновимірної задачі для початкових станів навантаження повинна бути достатньою, щоб не допустити впливу зростання перших коефіцієнтів у розкладанні сумарної похибки на точність розв’язання пружно-пластичної задачі на наступних етапах навантаження.

We formulate the mixed mesh-projection scheme for the solution of the thermoplasticity boundary value problem in quasistatic statement, when the process of nonisothermal elastoplastic deformation of a body is a sequence of equilibrium states. In this case, the stress-strain state depends on the loading history, whereas the process of inelastic deformation should be tracked during the total time period under study. We analyze the correctness and convergence of the mixed approximations for stresses, strains and displacements with reference to the solution of the nonlinear boundary problems covering nonisothermal processes of active loading, with the account taken of the initial strains, which depend on the loading and heating histories. Properties of projective operators are investigated in detail and, on their basis, we formulate the condition ensuring the existence, uniqueness and stability of the solution of a discrete problem. We present results of the analysis of special formulas for interpolational type numerical integration, application of which essentially simplifies the computational procedure of the solution of equations of the mixed method. The convergence and accuracy estimations are based on the results provided by the theory of the generalized boundary problems and the functional analysis methods. According to the obtained estimations, the accuracy of the solution of a finitedimensional problem for the initial stages of loading should be sufficient to ensure that the increase of the first coefficients in the summarized error expansion would have no effect on the accuracy of the solution of elastoplastic problem for the consequent stages of loading.