A new projective exact penalty function for a general constrained optimization

Abstract

A new projective exact penalty function method is proposed for the equivalent reduction of constrained optimization problems to unconstrained ones. In the method, the original objective function is extended to infeasible points by summing its value at the projection of an infeasible point on the feasible set with the distance to the set. The equivalence means that local and global minimums of the problems coincide. Nonconvex sets with multivalued projections are admitted, and the objective function may be lower semicontinuous. The particular case of convex problems is included. So the method does not assume the existence of the objective function outside the allowable area and does not require the selection of the penalty coefficient.

Класичний підхід до точного зведення задачі умовної оптимізації до задачі без обмежень полягає в додаванні до цільової функції деякого негладкого штрафного члена за порушення обмежень [Eremin (1966, 1967), Zangwill (1967)]. Проблема цього методу полягає у виборі правильного штрафного множника. У цій роботі ми пропонуємо нову проективну точну штрафну функцію для еквівалентного зведення задач оптимізації з обмеженнями до задач без обмежень. Еквівалентність означає, що локальні і глобальні мінімуми задач і значення цільової функції на відповідних мінімумах збігаються. У запропонованому методі вихідна цільова функція поширюється на недопустимі точки шляхом підсумовування її значення в проекції недопустимої точки на допустиму множину та відстані до множини. Допускаються багатозначні проекції, а цільова функція може бути напівнеперервною знизу. Розглядається окремий випадок опуклих задач. Таким чином, метод не передбачає існування цільової функції за межами допустимої області та не вимагає підбору штрафного коефіцієнта. Метод був запропонований у роботі [Норкін (2020)] (і пізніше вивчений у [Galavan et al. (2021)]) був мотивований застосуванням методу згладжування для умовної глобальної оптимізації. В даній статті ми обґрунтовуємо його для загальних опуклих і неопуклих задач оптимізації з обмеженнями.