Сингулярність інверсора цифр Q₃-зображення дробової частини дійсного числа, його фрактальні та інтегральні властивості

Abstract

Вводится и исследуется непрерывная функция I, названная инверсором цифр Q₃-изображения дробной части действительного числа, которое определяется вероятностным вектором (q₀, q₁, q₂) с положительными координатами и является обобщением классического троичного изображения, так как совпадает с ним при q₀ = q₁ = q₂ = 1/3. Значение этой функции получается из Q₃-изображения аргумента заменой цифр: 0 на 2, 1 на 1, 2 на 0. Описываются дифференциальные, интегральные и фрактальные свойства инверсора. Доказано, что I является сингулярной функцией, если q₀ ≠ q₂.

We introduce and study a continuous function I, the so-called inversor of digits of Q₃-representation for fractional part of a real number. This representation is determined by a stochastic vector (q₀, q₁, q₂) with positive entries and generalizes the classic ternary representation because it coincides with the latter, if q₀ = q₁ = q₂ = 1/3. The values of this function are obtained from the Q₃-representation of the argument by change of digits: 0 to 2, 1 to 1, 2 to 0. Differential, integral, and fractal properties of inversor are described. We prove that I is a singular function if q₀ ≠ q₂.