О приближенном решении автономных краевых задач методом Ньютона

Abstract

Встановлено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв нелiнiйної автономної нетерової крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку в частинному критичному випадку. Характерною особливiстю поставленої задачi є неможливiсть безпосереднього застосування традицiйної схеми дослiдження та побудови розв’язкiв критичних крайових задач, що створена у роботах I. Г. Малкiна, А. М. Самойленка, Є. О. Гребенiкова, Ю. А. Рябова i О. А. Бойчука. Для побудови розв’язкiв нелiнiйної нетерової крайової задачi в частинному критичному випадку запропоновано комбiновану iтерацiйну схему, побудовану з використанням методiв Ньютона i технiки найменших квадратiв. Ефективнiсть запропонованої технiки продемонстровано на прикладi перiодичної задачi для рiвняння типу Хiлла.

We find necessary and sufficient conditions for existence of solutions to a nonlinear autonomous Noether boundary-value problem for a system of ordinary second order differential equations in a particular critical case. A particular feature of the considered problem is that it is impossible to directly apply a traditional scheme, due to I. G. Malkin, A. M. Samoilenko, E. O. Grebenikov, Yu. A. Ryabov, and O. A. Boichuk, for studying the problem and finding its solutions. To construct solutions of a nonlinear Noether boundaryvalue problem in a particular critical case, we propose a scheme that combines Newton’s method and the least square technique. An effectiveness of the proposed method is demonstrated with an example of the periodic problem for a Hill type equation.