О разрешимости и асимптотике решений некоторого функционально-дифференциального уравнения с сингулярностью

Abstract

Доведено існування неперервно диференційовних розв'язків з потрібними асимптотичними властивостями при t→+0 та визначено кількість розв'язків такої задачі Коші для функціонально-диференціального рівняння: α(t)x′(t) = at + b₁x(t) + b₂x(g(t)) + ϕ(t,x(t), x(g(t)), x′(h(t))), x(0)=0, де α : (0,τ) → (0,+∞), g:(0,τ)→(0,+∞), h:(0, τ)→(0,+∞) — неперервні функції, 0 < g(t) ≤ t, 0 < h(t) ≤ t, t ∈ (0, τ), α(t)x′(t) = at+b₁x(t)+b₂x(g(t))+ϕ(t,x(t),x(g(t)),x′(h(t))), x(0)=0, lim α(t)=0, коли t→+0, функція ϕ неперервна в деякій області

We prove the existence of continuously differentiable solutions with required asymptotic properties as t → +0 and determine the number of solutions of the following Cauchy problem for a functional differential equation: α(t)x′(t)=at+b₁x(t)+b₂x(g(t))+ϕ(t,x(t),x(g(t)),x′(h(t))),x(0)=0, where α: (0, τ) → (0, +∞), g: (0, τ) → (0, +∞), and h: (0, τ) → (0, +∞) are continuous functions, 0 < g(t) ≤ t, 0 < h(t) ≤ t, t ∈ (0, τ), α(t)x′(t)=at+b₁x(t)+b₂x(g(t))+ϕ(t,x(t),x(g(t)),x′(h(t))),x(0)=0,limα(t)=0 where t→+0, and the function ϕ is continuous in a certain domain.