Solvability of boundary-value problems for nonlinear fractional differential equations

Abstract

We consider the existence of nontrivial solutions of the boundary-value problems for nonlinear fractional differential equations

Dαu(t) + λ[f(t,u(t)) + q(t)]=0, 0 < t < 1, u(0) = 0, u(1) = βu(η), where λ > 0 is a parameter, 1 < α ≤ 2, η ∈ (0, 1), β∈R=(−∞,+∞), βη α−1 ≠ 1, Dα is a Riemann–Liouville differential operator of order α, f:(0,1)×R→R is continuous, f may be singular for t = 0 and/or t = 1, and q(t) : [0, 1] → [0, +∞) We give some sufficient conditions for the existence of nontrivial solutions to the formulated boundary-value problems. Our approach is based on the Leray–Schauder nonlinear alternative. In particular, we do not use the assumption of nonnegativity and monotonicity of f essential for the technique used in almost all available literature.

Розглянуто існування нетривіальних розв'язків крайової задачі для нелінійних дробових диференціальних рівнянь Dαu(t) + λ[f(t,u(t)) + q(t)]=0, 0 < t < 1, u(0) = 0, u(1) = βu(η), де λ > 0 — параметр, 1 < α ≤ 2, η ∈ (0,1), β ∈ R=(−∞,+∞), βηα−1 ≠ 1,Dα —диференціальний оператор Рімана-Ліувілля порядку α, функція f:(0,1)×R→R неперервна, до того ж f може бути сингулярною при t=0 та (або) q(t) : [0,1]→[0,+∞) неперервна. Наведено деякі достатні умови для існування нетривіальних розв'язків вказаних крайових задач. Застосований у дослідженнях підхід базується на нелінійній альтернативі Лерея - Шаудера. Зокрема, не використовується припущення про невід'ємність, а також монотонність функції f , що було істотним для методики, застосованої майже в усіх описаних у літературі дослідженнях.