О поведении потенциала простого слоя для параболического уравнения на римановом многообразии

Abstract

Параболічне рівняння розглядається на римановому многовиді недодатньої секційної кривизни непозитивного перерізу (многовиди типу Картана - Адамарада). Друга крайова задача цього рівняння задається в обмеженій області, поверхня якої є гладкою підмножиною. Доведено, що градієнт одношарового потенціалу для такої задачі має стрибок при переході через підмноговиди аналогічно його поведінці в евклідовому просторі.

A parabolic equation is considered on a Riemannian manifold of nonpositive section curvature (a Cartan – Hadamard-type manifold). The second boundary-value problem for this equation is set in a bounded domain whose surface is a smooth submanifold. It is proved that the gradient of the singlelayer potential for such problem possesses a jump in crossing the submanifold similarly to its behavior in the Euclidean space.