Comparison theorems and necessary/sufficient conditions for the existence of nonoscillatory solutions of forced impulsive differential equations with delay

Abstract

In 1997, A. H. Nasr provided necessary and sufficient conditions for the oscillation of the equation where η > 0, p, and g are continuous functions on [0,∞) such that p(t) ≥ 0, g(t) ≤ t, g′(t) ≥ α > 0, and lim t→∞ g(t) =∞. It is important to note that the condition g′(t) ≥ α > 0 is required. In the paper, we remove this restriction under the superlinear assumption η > 1. In fact, we can do even better by considering impulsive differential equations with delay and obtain necessary and sufficient conditions for the existence of nonoscillatory solutions and also a comparison theorem that enables us to apply known oscillation results for impulsive equations without forcing terms to get oscillation criteria for the analyzed equations.

У 1997 роцi, А. Х. Наср отримав необхiднi та достатнi осциляцiйнi умови для рiвняння де η>0, p та g — неперервнi функцiї на [0,∞) такi, що p(t)≥0,g(t)≤t,g′(t)≥α>0 та limt→∞g(t)=∞. Слiд зауважити, що необхiдною тут є умова g′(t)≥α>0. У данiй статтi ми усуваємо це обмеження при суперлiнiйному припущеннi η>0. Насправдi, можна отримати навiть кращий результат, розглядаючи iмпульснi диференцiальнi рiвняння з запiзненням, i встановити необхiднi та достатнi умови iснування неосциляцiйних розв’язкiв, а також теорему порiвняння, яка дає змогу застосувати вiдомi осциляцiйнi результати для iмпульсних рiвнянь без збурюючих членiв, щоб отримати осциляцiйнi критерiї для наших рiвнянь.