О кусочно-постоянном приближении непрерывных функций n переменных в интегральных метриках

Abstract

Розглянуто наближення кусково-сталими функціями класів функцій багатьох змінних, визначених модулями неперервності ВИГЛЯДУ ω(δ1,...,δn)=ω1(δ1)+...+ωn(δn), де ωi(δi)— звичайні модулі неперервності, що залежать від однієї змінної. При опуклих вгору ωi(δi) отримано точні оцінки похибки: 1) в інтегральній метриці L2 для ω(δ1,...,δn)=ω1(δ1)+...+ωn(δn); 2) в інтегральній метриці Lp(p≥1), для ω(δ1,...,δn)=ω1(δ1)+...+ωn(δn); 3) в інтегральній метриці L_{(2, ..., 2, 2r)} (r = 2, 3, ...), для ω(δ_1, ..., δ_n) = ω_1(δ_1) + ... + ω_n − 1(δ_n − 1) + c_nδ_n.

We consider the approximation by piecewise-constant functions for classes of functions of many variables defined by moduli of continuity of the form ω(δ1,...,δn)=ω1(δ1)+...+ωn(δn) , where ωi(δi) are ordinary moduli of continuity that depend on one variable. In the case where ωi(δi) are convex upward, we obtain exact error estimates in the following cases: 1) in the integral metric L₂ for ω(δ1,...,δn)=ω1(δ1)+...+ωn(δn); 2) in the integral metric Lp(p≥1) for ω(δ1,...,δn)=ω1(δ1)+...+ωn(δn); 3) in the integral metric L_{(2, ..., 2, 2r)} (r = 2, 3, ...) for ω(δ_1, ..., δ_n) = ω_1(δ_1) + ... + ω_n − 1(δ_n − 1) + c_nδ_n.