Нелінійна крайова задача теплопровідності для шаруватої пластини з включенням

Abstract

Розглянуто нелінійну крайову задачу теплопровідності для ізотропної безмежної термочутливої шаруватої пластини з теплоізольованими лицевими поверхнями та чужорідним наскрізним теплоактивним включенням. За допомогою запровадженого перетворення виконано часткову лінеаризацію вихідного рівняння теплопровідності. Після кусково-лінійної апроксимації температури на межових поверхнях чужорідних шарів та включення рівняння повністю лінеаризовано. Знайдено аналітично-числовий розв’язок цього рівняння з крайовими умовами другого роду для визначення запровадженої функції із використанням інтегрального перетворення Фур’є. Наведено розрахункові формули для обчислення значень шуканої температури за лінійної температурної залежності коефіцієнта теплопровідності конструкційних матеріалів для двошарової пластини. Виконано числовий аналіз для одношарової пластини з наскрізним теплоактивним включенням (матеріал пластини – кераміка ВК94-I, матеріал включення – срібло).

Рассмотрена нелинейная граничная задача теплопроводности для изотропной бесконечной термочувствительной слоистой пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями и инородным сквозным тепловыделяющим включением. С помощью предложенного преобразования проведена частичная линеаризация исходного уравнения теплопроводности. После кусочно-линейной аппроксимации температуры на граничных поверхностях инородных слоев и включения уравнение полностью линеаризовано. Найдено численно-аналитическое решение этого уравнения с граничными условиями второго рода для определения введенной функции с применением интегрального преобразования Фурье и приведены расчетные формулы для вычисления искомой температуры с линейной температурной зависимостью коэффициента теплопроводности конструкционных материалов. Выполнен численный анализ для однослойной пластины со сквозным тепловыделяющим включением (материал пластины – керамика ВК94-І, включения – серебро).

A nonlinear boundary value problem of heat conduction for an isotropic infinite heat-sensitive layered plate with insulated face surfaces and a foreign through heat-releasing inclusion is considered. With a help of the proposed transformation, a partial linearization of the original equation of heat conduction is done. After piecewise linear approximation of temperature at the boundary surfaces of the layers and the inclusion, the equation becomes fully linearized. With the application of Fourier transform, an analytical-numerical solution of the equation with the boundary conditions of the second kind for the determination of introduced functions is obtained; formulae for calculating the required temperature with a linear temperature dependence of the thermal conductivity of structural materials are also provided. Numerical analysis for a single-layer plate with a through heat-releasing inclusion is carried out, where the plate and inclusion materials are ceramics ВК94-І and silver, respectively.