Non-equilibrium stochastic dynamics in continuum: The free case

Abstract

We study the problem of identification of a proper state-space for the stochastic dynamics of free particles in continuum, with their possible birth and death. In this dynamics, the motion of each separate particle is described by a fixed Markov process M on a Riemannian manifold X. The main problem arising here is a possible collapse of the system, in the sense that, though the initial configuration of particles is locally finite, there could exist a compact set in X such that, with probability one, infinitely many particles will arrive at this set at some time t > 0. We assume that X has infinite volume and, for each α ≥ 1, we consider the set θα of all infinite configurations in X for which the number of particles in a compact set is bounded by a constant times the α-th power of the volume of the set. We find quite general conditions on the process M which guarantee that the corresponding infinite particle process can start at each configuration from θα, will never leave θα, and has cadlag (or, even, continuous) sample paths in the vague topology. We consider the following examples of applications of our results: Brownian motion on the configuration space, free Glauber dynamics on the configuration space (or a birth-and-death process in X), and free Kawasaki dynamics on the configuration space. We also show that if X = Rd, then for a wide class of starting distributions, the (non-equilibrium) free Glauber dynamics is a scaling limit of (non-equilibrium) free Kawasaki dynamics.

Ми дослiджуємо проблему iдентифiкацiї вiдповiдного простору станiв для стохастичної динамiки вiльних частинок у континуумi з їх можливим народженням i знищенням. В цiй динамiцi рух окремої частинки описується за допомогою фiксованого маркiвського процесу M на рiмановому многовидi X. Головною проблемою тут є можливий колапс системи у наступному сенсi. Незважаючи на те, що початковий розподiл частинок є локально скiнченний, може iснувати в X така компактна множина, що з ймовiрнiстю 1 в момент часу t > 0 у цю множину потрапить безмежна кiлькiсть частинок. Ми вважаємо, що X має безмежний об’єм, а також, для кожного α ≥ 1, розглядаємо множину θα всiх безмежних конфiгурацiй в X, для яких число частинок в компактнiй множинi є обмежене добутком певної сталої i -го степеня об’єму цiєї множини. Ми знайшли цiлком загальнi умови на процес M, за яких вiдповiдний безмежно-частинковий процес, стартуючи з довiльної конфiгурацiї θα, нiколи не залишить θα, маючи при цьому cadlag (або, навiть, неперервнi) траєкторiї в ультра-слабкiй топологiї. Можливi такi застосування наших результатiв: броунiвський рух на конфiгурацiйнному просторi i вiльна динамiка Глаубера на конфiгурацiйному просторi (процес народження-знищення на X): вiльна динамiка Кавасакi на конфiгурацiйному просторi. Ми також показуємо, що у випадку X = Rd, для широкого класу стартових розкладiв (нерiвноважна) вiльна динамiка Глаубера є скейлiнговою границею (нерiвноважної) вiльної динамiки Кавасакi.