Обобщенный метод сшивания в теории дифракции волноводных мод. Часть II. Сходимость проекционных приближений

Abstract

Строгое обоснование применения техники редукции для приближенного решения матричных уравнений метода сшивания является нерешенной задачей на протяжении всех лет использования этого метода. Обобщенный метод сшивания, предлагаемый для решения задач дифракции мод на скачкообразных неоднородностях в волноводе, приводит к формулам Френеля для матричных операторов отражения и прохождения волн, а не к стандартным бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. Целью настоящей статьи является нахождение проекционных приближений для указанных операторных формул Френеля и аналитическое исследование качественных характеристик их сходимости. Использована теория операторов в гильбертовом пространстве. Аналитически доказана безусловная сильная сходимость конечномерных приближений для операторных формул Френеля к истинным операторам рассеяния. Дана оценка числа обусловленности матрицы редуцированного уравнения. Полученные результаты позволяют строго обосновать обобщенный метод сшивания, предназначенный для эффективного анализа устройств СВЧ.

Точне обгрунтування застосування техніки редукції для наближеного розв,язання матричних рівнянь методу зшивання є невирішеною задачею на протязі всіх років використання цього методу. Узагальнений метод зшивання, який пропонується для розв,язання задач дифракції мод на стрибкоподібних неоднорідностях у хвилеводі, приводе до формул Френеля для матричних операторів відображення та проходження хвиль, а не до стандартних нескінченних систем лінійних алгебраічних рівнянь. Метою цієї статті є знаходження проекційних наближень для вказаних операторних формул Френеля і аналітичне дослідження якісних характеристик їх збіжності. Використана теорія операторів в гільбертовому просторі. Аналітично доказана безумовна сильна збіжність скінченновимірних наближень для операторних формул Френеля до істинних операторів розсіювання. Дана оцінка числа обумовленості матриці редукованого рівняння. Отримані результати дозволяють точно обґрунтувати узагальнений метод зшивання, який призначений для ефективного аналізу пристроїв НВЧ.

The problem of validity of the truncation procedure for matrix equations of the mode-matching technique is an open question during the all period of applying this technique. The generalized mode-matching technique, which is proposed to solve the problem on mode-diffraction by abrupt discontinuity in the waveguide, yields the Fresnel formulae for matrix operators of mode reflection and transmission instead of the traditional infinite systems of linear algebraic equations. The aim of the present paper is to construct projection approximations for these operator-based Fresnel formulae and to make an analytical study into the qualitative characteristics of their convergence. The theory of operators in the Hilbert space is used. The unconditional strong convergence of finite-dimensional approximations for the operator-based Fresnel formulae to the true scattering operators has been proved analytically. The condition number of matrix approximations has been evaluated. The obtained results allow one to justify rigorously the generalized mode-matching technique which has been developed for effective analysis of microwave devices