Функцiя Грiна тривимiрного конвективного хвильового рiвняння для нескiнченної прямої труби

Abstract

Побудовано функцiю Грiна тривимiрного конвективного хвильового рiвняння для нескiнченної прямої труби довiльної (але незмiнної по її довжинi) форми та площi поперечного перерiзу з акустично жорсткими i акустично м’якими стiнками, а також стiнками змiшаного типу. Ця функцiя представляється рядом за акустичними модами труби. Кожен член ряду є суперпозицiєю прямої та зворотної хвиль, якi поширюються на вiдповiднiй модi вiдповiдно вниз та вгору за течiєю вiд акустичного джерела. У побудованiй функцiї Грiна в явному виглядi вiдображенi ефекти рiвномiрної осередненої течiї в трубi. Цi ефекти стають бiльш вагомими зi збiльшенням числа Маха течiї, зумовлюючи, зокрема, появу i подальше збiльшення асиметрiї функцiї вiдносно поперечного перерiзу труби, в якому розташоване згадане джерело. I навпаки, зi зменшенням числа Маха вагомiсть впливу течiї на функцiю Грiна зменшується, проявляючись, крiм iншого, у зменшеннi зазначеної її асиметрiї. У випадку ж вiдсутностi течiї одержана функцiя Грiна є симетричною вiдносно вказаного перерiзу. У процесi побудови функцiї Грiна запропоновано перетворення, яке дозволяє зводити одновимiрне конвективне рiвняння Кляйна–Гордона до його класичного одновимiрного аналога i на основi вiдомого розв’язку останнього одержувати розв’язок першого рiвняння.

Построена функция Грина трехмерного конвективного волнового уравнения для бесконечной прямой трубы произвольной (но неизменной по ее длине) формы и площади поперечного сечения с акустически жесткими и акустически мягкими стенками, а также стенками смешанного типа. Эта функция представляется рядом по акустическим модам трубы. Каждый член ряда является суперпозицией прямой и обратной волн, распространяющихся на соответствующей моде соответственно вниз и вверх по течению от акустического источника. В построенной функции Грина в явном виде отражены эффекты равномерного осредненного течения в трубе. Эти эффекты становятся более существенными с увеличением числа Маха течения, приводя, в частности, к появлению и дальнейшему увеличению асимметрии функции относительно поперечного сечения трубы, в котором находится упомянутый источник. И наоборот, с уменьшением числа Маха весомость влияния течения на функцию Грина уменьшается, проявляясь, кроме прочего, в уменьшении указанной ее асимметрии. В случае же отсутствия течения полученная функция Грина является симметричной относительно этого сечения. В процессе построения функции Грина предложено преобразование, позволяющее сводить одномерное конвективное уравнение Кляйна–Гордона к его классическому одномерному аналогу и на основании известного решения последнего получать решение первого уравнения.

Green’s function of the three-dimensional convective wave equation for an infinite straight pipe of arbitrary (but constant along its length) cross-sectional shape and area, having either acoustically rigid or acoustically soft walls or the walls of a mixed type, is obtained. This function is represented by a series of the pipe acoustic modes. Each term of the series is a superposition of the direct and reverse waves propagating in the corresponding mode downstream and upstream of the acoustic source, respectively. In the Green’s function, the effects of a uniform mean flow in the pipe are directly reflected. The effects become more significant as the flow Mach number increases, causing, in particular, the appearance and the further growth of the function asymmetry about the pipe crosssection in which the noted source is located. Vice versa, a decrease of the Mach number results in a decrease of the effects and, in particular, a decrease of the indicated function asymmetry. In the absence of a flow, the Green’s function is symmetric about the noted cross-section. A transformation is suggested that allows one to reduce the one-dimensional convective Klein-Gordon equation to its classical one-dimensional counterpart and, by proceeding from the known solution of the later equation, to obtain a solution to the former one.