Automatic feedback control for one class of contact piezoelectric problems

Abstract

In this paper we investigate the dynamics of solutions of the second order evolution inclusion with discontinuous interaction function which can be represented as the difference of subdifferentials. This case is actual for feedback automatic control problems. In particular, we concider mathematical model of contact piezoelectric process between a piezoelectric body and a foundation and for this problem investigate the long-term behavior of state function. We deduce a priory estimates for weak solutions of studied problem in the phase spase. The theorem on the existence of a global attractor for multi-valued semiflow generated by weak solutions of the problem and the structural properties of the limit sets is prooved. The main results of the paper were applied to the investigated piezoelectric problem.

Досліджено динаміку розв’язків еволюційного включення другого порядку з розривною функцією взаємодії, яка може бути представлена у вигляді різниці субдиференціалів. Цей випадок є актуальним для задач автоматичного управління зі зворотнім зв’язком. Розглянуто математичну модель контактного п’єзоелектричного процесу між п’єзоелектричним тілом та опорою, і для неї досліджено довгострокову поведінку функції стану. Введено апріорні оцінки для слабких розв’язків даної задачі в фазовому просторі. Доведено теорему про існування глобального атрактора для багатозначного напівпотоку, породженого слабкими розв’язками задачі, та про структурні властивості граничних множин. Основні результати було застосовано до досліджуваної п’єзоелектричної задачі.

Исследована динамика решений эволюционного включения второго порядка с разрывной функцией взаимодействия, которая может быть представлена в виде разности субдифференциалов. Данный случай является актуальным для задач автоматического управления с обратной связью. Рассмотрена математическая модель контактного пьезоэлектрического процесса между пьезоэлектрическим телом и опорой, и для нее исследовано долгосрочное поведение функции состояния. Выведены априорные оценки для слабых решений рассматриваемой задачи в фазовом пространстве. Доказана теорема о существовании глобального аттрактора для многозначного полупотока, порожденного слабыми решениями задачи, и о структурных свойствах предельных множеств. Основные результаты были применены к исследуемой пьезоэлектрической задаче.