A compact system of inequalities for the standard limits in the theory of limits

Abstract

The purpose of the paper is an alternative way of obtaining of the standard limits in the elementary theory of limits. The approach uses two double inequalities xe^-x ≤ sin x ≤ xe^x and xe^-x ≤ shx ≤ xe^x and the limit transition. The method is applied to both standard limits simultaneously, that makes the theory more universal. Apart from that our theory gives many new representations of the standard limits (total number is 37).

У роботі запропоновано підхід, який забезпечує єдиний засіб отримання стандартних границь у теорії границь. Підхід заснований на використанні нерівностей xe^-x ≤ sin x ≤ xe^x та xe^-x ≤ shx ≤ xe^x і граничному переході в них. Підхід достатньо простий у використанні. Єдина система нерівностей забезпечує одночасне отримання формул першого, другого стандартних границь і, практично, всіх наслідків з них. Більш того, теорія приводить до великої кількості нових наслідків із стандартних границь.

В работе предложен единый подход к стандартным пределам в теории пределов. Подход основан на использовании двойных неравенств xe^-x ≤ sin x ≤ xe^x и xe^-x ≤ shx ≤ xe^x и предельном переходе в них. Метод применим к обоим стандартным пределам одновременно, что значительно упрощает общепринятые подходы. Кроме того, получены новые следствия из стандартных пределов.