Integration of a rational fraction of a special kind

Abstract

In the paper new representations for the functions cosⁿx and sinⁿx are obtained, which are effective for evaluation of many integrals, especially Kn=∫(x²+a²)⁻ⁿdx . It is found a primitive of the integral Kn in the explicit form, while in the mathematical analysis this integral is calculated by means of a recurrent equation. Besides, the received representation gives new representation of Wallace’s formula.

У статті отримано представлення для функцій cosⁿx і sinⁿx , які ефективні для обчислення інтегралів вигляду Kn=∫(x²+a²)⁻ⁿdx. Знайдена первісна інтегралу Kn в явному вигляді, тоді як у математичному аналізі інтеграл обчислюють за допомогою рекурентного співвідношення. Крім того, представлення використано для отримання нового представлення формули Валіса.

В статье получены представления для функций cosⁿx и sinⁿx, которые оказались эффективными для вычисления интегралов вида Kn=∫(x²+a²)⁻ⁿdx. Найдена первообразная интеграла Kn в явном виде, в то время как в математическом анализе этот интеграл вычисляется с помощью рекуррентного соотношения. Кроме того, полученное представление дает новое представление формулы Валлиса.