Карты локальных растяжений: приложение для задачи об адвекции в произвольном поле скорости

Abstract

Рассматриваются локальные свойства растяжения пассивных жидких областей с произвольными границами в известном поле скорости. Аналитическое решение для локального растяжения позволяет выделить экспоненциальный коэффициент, который описывает растяжение исследуемой области и является аналогом наибольшего показателя Ляпунова, используемого в хаотической динамике. Этот коэффициент существует во всех решениях; он не зависит от формы контура и определяется только градиентами компонент поля скорости. Другой локальный механизм растяжения определяется интегральными характеристиками потока и видом рассматриваемого контура. Построение карт значений локальных растяжений для фиксированных моментов позволяет наглядно проанализировать эволюцию областей, в которых имеет место интенсивное размешивание. Процесс перемешивания рассматривается на примере задачи об адвекции пассивной примеси в поле скорости, наведенном системой точечных вихрей, движущихся периодически. Этот режим взаимодействия генерирует хаотическое движение пассивных жидких частиц. Локальные карты растяжения показывают, что области хаотического движения жидких частиц и интенсивного перемешивания не совпадают. Хаотические области имеют зоны слабого перемешивания, в которых контуры переносятся из одной зоны интенсивного растяжения в другую без какой-либо деформации.

Розглядаются локальнi властивостi розтягу пасивних рiдких областей з довiльними межами у вiдомому полi швидкостi. Аналiтичний розв'язок для локального розтягу дозволяє видiлити експоненцiйний коефiцiент, що описує розтяг областi, яка дослiджується i є аналогом найбiльшого показнику Ляпунова, що використовується в хаотичнiй динамiцi. Цей коефiцiент iснує в усiх рiшеннях; вiн не залежить вiд форми контура i визначається тiльки градiєнтами компонент поля швидкостi. Iнший локальний механiзм розтягу визначається iнтегральними характеристиками струму i видом контура, що розглядається. Побудова карт значень локальних розтягiв для фiксованих моментiв дозволяє наочно проаналiзувати еволюцiю областей, в яких має мiсце iнтенсивне розмiшування. Процес перемiшування розглядається на прикладi задачi про адвекцiю пасивної домiшки у полi швидкостi, наведеному системою точечних вихорiв, якi рухаються перiодично. Цей режим взаємодiї вихорiв генерує хаотичний рух пасивних рiдких часток. Локальнi карти розтягу показують, що областi хаотичного руху рiдких часток i iнтенсивного перемiшування не спiвпадають. Хаотичнi областi мають зони слабкого перемiшування, в яких контури переносяться iз однiєї зони iнтенсивного розтягу в iншу без будь-якої деформацiї.

The local stirring properties of a passive fluid domain with arbitrary borders in known velocity field are discussed. Analytical solution for local stretching permits to single out an exponential coefficient that describes stretching of the domain studied and is analogous to the largest Lyapunov exponent used in chaotic dynamics. This coefficient exist in all solutions; it does not depend on the shape of the contour, and is determined by the gradients of the velocity field components only. Another local mechanism of stirring is determined by integral characteristics of the flow and the shape of contour under consideration. Construction of maps for local stretching values in fixed moments allows to analyze informatively an evolution of regions, in which an intensive stirring takes place. The stirring process is explored in a sample of an advection problem of a passive impurity in the velocity field induced by a system of point vortices moved periodically. This interaction regime generates a chaotic motion of passive fluid particles. Local stretching maps show that the regions of chaotic motion of fluid particles and of intensive stirring do not coincide. Chaotic region has a zone of weak stirring, in which contours are transported from one intensive stretching zone to another without any deformation.