Применение смешанных вариационных формулировок метода конечных элементов к решению задач о собственных колебаниях упругих тел

Abstract

Рассматриваются смешанные вариационные постановки и применение смешанных аппроксимаций метода конечных элементов к решению задач о собственных колебаниях упругих тел. Для решения обобщенной спектральной задачи предложены три формы смешанных вариационных формулировок метода конечных элементов. Исследованы корректность и устойчивость смешанных аппроксимаций для перемещений, деформаций и напряжений. Приведены матричные уравнения смешанного метода, решение которых осуществляется с помощью модифицированного алгоритма метода наискорейшего спуска. Представлены результаты расчетов собственных частот свободных колебаний прямого и кругового брусьев, полученные при решении задачи в двухмерной постановке на основе классического и смешанного подходов метода конечных элементов.

Розглядаються змішані варіаційні постановки і застосування змішаних апроксимацій методу скінченних елементів до розв’язку задач про власні коливання пружних тіл. Для розв’язання узагальненої спектральної задачі запропоновано три форми змішаних варіаційних формулювань методу скінченних елементів. Досліджено коректність та стійкість змішаних апроксимацій для переміщень, деформацій та напружень. Наведено матричні рівняння змішаного методу, котрі розв’язуються за допомогою модифікованого алгоритму методу найшвидшого спуску. Представлено результати розрахунку власних частот вільних коливань прямого та кругового бруса, що отримані при розв’язанні задачі в двовимірній постановці на основі класичного і змішаного підходів методу скінченних елементів.

We study mixed variational formulations and application of mixed approximations of the finite element method to solution of problems of natural vibrations of elastic bodies. Three forms of mixed variational formulations of the finite element method are proposed for solution of the generalized spectral problem. Correctness and stability of mixed approximations for displacements, strains and stresses are analyzed. Matrix equations of the mixed method are presented, which are solved using the modified algorithm of the quickest descent technique. Calculation results on natural frequencies of free vibrations of straight and circular bars are obtained by the problem solution in the 2D formulation, based on classic and mixed FEM approaches.