Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей

Abstract

Рассматривается задача о построении конфигураций и анализе устойчивости стационарного вращения системы N одинаковых точечных вихрей на плоскости. В работе приводится краткий обзор имеющихся в литературе методов поиска равномерно вращающихся вихревых структур. Предложен новый метод построения симметричных и несимметричных конфигураций точечных вихрей с одинаковой интенсивностью, основанный на численном решении системы нелинейных алгебраических уравнений. Анализ полученных решений позволил сформировать расширенный каталог равномерно вращающихся структур, содержащих N (где 2 ≤ N ≤ 10) точечных вихрей. В каталог включены 13 симметричных и 25 несимметричных вихревых конфигураций. Сравнительный анализ траекторий движения системы точечных вихрей без начального возмущения и с начальным возмущением показывает, что симметричные конфигурации содержат как устойчивые, так и неустойчивые структуры. В то же время, все несимметричные вихревые конфигурации являются неустойчивыми.

Розглядається задача про побудову конфiгурацiй i аналiз стiйкостi стацiонарного обертання системи N однакових точкових вихорiв на площинi. У роботi наводиться короткий огляд iснуючих у лiтературi методiв пошуку вихрових структур, що рiвномiрно обертаються. Запропонований новий метод побудови симетричних i несиметричних конфiгурацiй точкових вихорiв з однаковою iнтенсивнiстю, заснований на чисельному розв'язку системи нелiнiйних алгебраєчних рiвнянь. Аналiз одержаних розв'язкiв дозволив сформувати розширений каталог структур, що рiвномiрно обертаються i мiстять N (де 2 ≤ N ≤ 10) точкових вихорiв. Каталог вмiщує 13 симетричних i 25 несиметричних вихорових конфiгурацiй. Порiвняльний аналiз траєкторiй руху системи точкових вихорiв без початкового збудження i з початковим збудженням показує, що симетричнi конфiгурацiє мiстять як стiйкi, так i нестiйкi структури. У той же час, всi несиметричнi вихровi конфiгурацiє є нестiйкими.

A problem on construction of configurations and analysis of stability of stationary rotation of a system N of identical point vortices on a plane is considered. A brief review on existing in literature methods to search the uniformly-rotating vortex structures is carried out. A new method to construct the symmetric and asymmetric configurations of point vortices with equal intensity based on numeral solution of a system of nonlinear algebraic equalizations is proposed. The analysis of achieved solutions allowed to form an extended catalogue of uniformly-rotated structures containing N (where 2 ≤ N ≤ 10) point vortices. The catalogue has 13 symmetric and 25 asymmetrical vortex configurations. The comparative analysis of trajectories of point vortex system without initial perturbations and with initial perturbations shows that symmetric configurations contain both steady and unsteady structures. On the other hand, all asymmetrical vortex configurations are unsteady.