Задача типу Стефана для циліндричної області

Abstract

Процес термічної обробки рухомого стрижня моделюємо нелінійною крайовою задачею теплопровідності для рухомої циліндричної області з внутрішнім джерелом тепла. Один із геометричних розмірів області є змінна величина, значення якої зменшується від деякої сталої до нуля. Запропоновано метод розв’язування сформульованої задачі Стефана, який полягає у застосуванні інтегральних перетворень i числових методів Роте та Ньютона розв’язування диференціальних рівнянь. Сформульовані та доведені теореми існування єдиного розв’язку різницевої задачі та зроблено оцінку її збіжності до розв’язку крайової задачі. На основі отриманого розв’язку крайової задачі визначені умови, за яких температурне поле в області зі змінними межами буде стале упродовж процесу нагрівання. Проведені розрахунки розподілів температури.

The process of heat treatment of a mobile shank is modeled the nonlinear regional problem for the equation of heat conductivity in a cylindrical area with the internal source of heat. One of geometrical sizes of area is variable quantity with value diminishes from some constant to zero. The method of solution stated problems is offered. It consists in use of integral transformations and numerical methods of Rote and Newton for solution of differential equations. Theorems of existence of the unique solution difference problems are formulated and proved. The estimated convergence of it’s to the solution of boundary problem is made. On basis of the received solution of boundary problem are defined conditions at which the temperature field in an area with trailing boundaries will be constant during the process of heating. The calculations of distributing of temperature are realized.

Процесс термической обработки движущегося стержня моделируем нелинейной краевой задачей для уравнения теплопроводности в цилиндрической области с внутренним источником тепла. Один из геометрических размеров области является переменной величиной, значение которой уменьшается от некоторой постоянной до нуля. Предложен метод решения сформулированной задачи типа Стефана, состоящий в применении интегральных преобразований и численных методов Роте и Ньютона решения дифференциальных уравнений. Сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности решения разностной задачи, сделана оценка ее сходимости к решению краевой задачи. На основе решения краевой задачи определены условия, при которых температурное поле в области с движущимися границами будет постоянным на протяжении процесса нагревания. Проведены расчеты распределений температуры.