Моделювання дискретно- континуальних систем. Основи концепції квазіпохідних

Abstract

У статті з’ясовано доцільність введення поняття квазіпохідних як ефективного апарату дослідження прикладних задач, що зводяться до розв’язування, так званих, квазідиференціальних рівнянь. Такі рівняння виникають під час дослідження реальних фізичних процесів, виводяться на основі законів збереження та зображуються в дивергентній формі. Основні етапи розвитку концепції квазіпохідних наведено в хронологічному порядку від кінця 30-х років минулого століття до сьогодення. Новий поштовх розвитку теорії квазідиференціальних рівнянь надано авторами. Основою цього було створення лінійної теорії скалярних і векторних квазідиференціальних рівнянь з узагальненими функціями в коефіцієнтах і правих частинах, які за допомогою певним чином введених квазіпохідних зводяться до коректних систем диференціальних рівнянь із мірами. Це дало можливість розвинути такі новітні напрямки досліджень, як спектральна теорія узагальнених самоспряжених і несамоспряжених задач, теорія стійкості, наближені методи тощо. За браком місця основні результати таких досліджень наведені у статті без доведень, проте, з посиланнями на відповідні публікації.

The notion of quasiderivatives as an effective device of researches of applied problems that are reduced to solving the so called quasidifferential equations (QDE) is analyzed. As it is well known, such equations appear during investigation of different physical processes, are derived on the basis of the conservation law and are represented in the divergent form. The main stages of the quasiderivative concept development are presented in the chronological order from the end of 1930s to the recent investigations. A new push to the QDE theory development has been done by the authors. The authors based their researches on the development of linear theory of scalar and vectorial QDE with generalized functions both in coefficients and right parts, which can be reduced to the correct systems in terms of definite quasiderivatives. The above mentioned gave the opportunity to develop such trends of investigation as spectral theory of generalized self-adjoint and not self-adjoint problems, stability theory, approximate approaches etc. The main investigation results are presented in the paper without proofs due to the limited volume of the publication however with the respective sources quoting.

В работе анализируется целесообразность введения понятия квазипроизводных как эффективного аппарата исследования прикладных задач, приводящих к решению, так называемых, квазидифференциальных уравнений. Такие уравнения возникают при описании реальных физических процессов, выводятся на основании законов сохранения и изображаются в дивиргентной форме. Основные этапы развития концепции квазипроизводных приведены в хронологическом порядке с конца 30-х годов прошлого столетия до настоящего времени. Новый импульс развитию теории квазидифференциальных уравнений дан авторами. Основой их исследований было создание линейной теории скалярных и векторных квазидифференциальных уравнений с обобщенными функциями как в коэффициентах, так и в правых частях, которые с помощью определенных некоторым образом квазипроизводных приводятся к корректным системам дифференциальных уравнений с мерами. Это дало возможность развить такие современные направления исследований, как спектральная теория обобщенных самосопряженных и несамосопряженных задач, теория устойчивости, приближенные методы. Из-за ограниченного объёма публикации основные результаты исследований приводятся без доказательств, но со ссылками на соответствующие источники.