Основы общей теории независимого управления собственными деформациями

Abstract

В работе излагаются основы решения задач управления напряжениями одновременно с деформациями путем наложения поля собственных деформаций. Под собственными деформациями (eigenstrain) понимаются неупругие деформации любой природы, например, температурные, пьезоэлектрические, деформации фазовых переходов, ростовые в живых тканях и другие. Метод основан на свойствах решения краевой задачи с собственными деформациями, которые получены с использованием функционального анализа. Основная идея метода состоит в разложении собственной деформации на нильпотентную (не создающую полной деформации) и импотентную (не создающую напряжений) части. Показано, что такое разложение всегда можно реализовать для любой существующей в теле собственной деформации. Предложенный метод позволяет строить решение задачи управления без полного решения задачи с собственными деформациями и избежать трудоемких и многочисленных решений краевых задач при поиске оптимального решения.

У роботі подаються основи розв’язування задач керування напруженнями одночасно з деформаціями шляхом накладання поля власних деформацій. Під власними деформаціями (eigenstrain) розуміють непружні деформації довільного походження, наприклад, температурні, п’єзоелектричні, деформації фазових переходів, росту у живих тканинах тощо. Метод ґрунтується на властивостях розв’язків крайової задачі з власними деформаціями, які отримують з використанням функціонального аналізу. Основна ідея методу полягає у розкладі власної деформації на нільпотентну (яка не створює повної деформації) й імпотентну (яка не створює напружень) частини. Показано, що такий розклад завжди можна реалізувати для будь-якої власної деформації, що існує в тілі. Запропонований метод дає змогу будувати розв’язок задачі керування без повного розв’язування задачі з власними деформаціями та уникнути трудомістких і численних розв’язувань крайових задач при пошуку оптимального розв’язку.

The foundation of solution of independent stress and deformation control problems by eigenstrain is given. By eigenstrain it is possible to consider inelastic strain of any nature such as thermal expansion strain, piezoelectric strain, deformation due to phase transitions, growth and remodeling deformations in living tissues, etc. The approach is based on the properties of solution of boundary value problem with eigenstrain obtained by means of functional analysis. The main idea is the decomposition of existing eigenstrain into impotent (stress-free) and nilpotent (deformation-free) constituents. It is shown that there is a possibility to perform the decomposition for any eigenstrain existing in the body and that obtained decomposition is unique one. Suggested theory allows us to obtain the solution of stress and deformation control problem without straightforward solution of boundary value problem with eigenstrain. In addition, the novel method avoids numerous and cumbersome solutions of boundary value problem with eigenstrain.