Наближене мінімаксне оцінювання функціоналів від розв’язків хвильового рівняння з нелінійним спостереженням

Abstract

Розглянуто задачу мінімаксного оцінювання функціонала від розв'язку параболічної задачі зі швидкоколивними коефіцієнтами. Вимірюється не сама величина, яка описує досліджуване явище, а спостерігається деяке значення від розв'язку з оператором, що визначає спосіб вимірювання. Проблема ускладняється не лише через швидкоколивні коефіцієнти та невідомі функції, які входять до рівняння та початкових умов, а і через те, що спостереження є нелінійним (має оператор типу суперпозиції). За значення малого параметра ε > 0 існування розв'язку вихідної задачі встановлюється за допомогою традиційного мінімаксного підходу. Перехід до задачі з усередненими параметрами дозволяє звільнитися від нелінійності у спостереженні. Основним результатом роботи є доведення того, що мінімаксна оцінка задачі з усередненими коефіцієнтами є наближеною мінімаксною оцінкою вихідної задачі.

Рассмотрена задача минимаксного оценивания функционала от решения волнового уравнения с быстро колеблющимися коэффициентами и при условии, что наблюдение является нелинейным (имеет оператор типа суперпозиции). При значении малого параметра ε > 0 существование решения исходной задачи устанавливается с помощью традиционного минимаксного подхода. Переход к задаче с усредненными параметрами позволяет освободиться от нелинейности в наблюдении. Основной результат работы это доказательство того, что минимаксная оценка задачи с усредненными коэффициентами является приближенной минимаксной оценкой исходной задачи.

The paper deals with the problem of minimax estimation of a functional of the solution to the wave equation with rapidly oscillating coefficients. The observation (output signal) is nonlinear (has the operator of superposition type). For the small parameter ε > 0, the existence of the solution of original problem is proved using the traditional minimax approach. Transition to homogenized parameter problem allows us to remove the nonlinearity in the observation. The main result of the paper is to prove that the estimate of the problem with homogenized parameters is an approximate minimax estimate of the original problem.