О влиянии третьего приближения при анализе эволюции нелинейно упругой Р-волны. Часть 2

Abstract

Проведен анализ распространения нелинейной упругой продольной плоской волны смещения u(x1,t) для симметричного начального профиля в виде функции Гаусса и несимметричного начального профиля в виде функции Уиттекера.

В межах моделі Мурнагана вивчено теоретично та чисельно нелінійну плоску поздовжню пружну хвилю зміщення для двох форм початкового профілю - гармонічного і дзвіноподібного. Основна новизна полягає в тому, що еволюція хвиль аналізується наближеними методами з урахуванням перших трьох апроксимацій. Аналіз гармонічної хвилі розглядається тільки для порівняння з новими результатами для дзвіноподібної хвилі. Показано деякі суттєві відмінності між еволюцією хвиль. По-перше, симетричні початково профілі трансформуються внаслідок еволюції в спотворенні по-різному: гармонічний профіль симетрично і дзвіноподібний профіль асиметрично. По-друге, третя апроксимація вводить четверту гармоніку для гармонічної хвилі, коли ця хвиля аналізувалася методом послідовних наближень, тоді як дзвіноподібна хвиля характеризується у третьому наближенні по-іншому в рамках аналізу методом обмежень на градієнт зміщення. На відносно довгих відстанях від початку поширення хвилі одногорба дзвіноподібна хвиля перетворюється в двогорбу. Ці горби прилягають один до одного і зменшують в два рази їх підошви. Третє наближення дозволяє спостерегти нові хвильові ефекти: несиметрію лівого і правого горбів відносно їх піків і несиметрію горбів щодо один до одного - опущення лівого горба і підйом правого. Результати дослідження коментуються

The propagation of a nonlinear elastic longitudinal plane wave of displacement is analyzed theoretically and numerically within the framework of the Murnaghan model for a symmetrical initial profile in the form of Gauss’s function and asymmetrical initial profile in the form of Whittaker’s function. The basic novelty consists in that the evolution of waves is analyzed by the approximate methods by taking into account the first three approximations. The analysis of the harmonic wave is considered for the only comparison with the new results for Whittaker’s wave. Some essential distinctions between the evolution of waves are shown. Common to these profiles is the distortion of the initial profile when the wave moves due to the nonlinear self-interaction of the wave. A bell-shaped (symmetrical profile) solitary wave retains symmetry when moving in a nonlinearly elastic body. For some initial sets of parameters, this wave initially does not change the bottom length and only shows the tendency to form two humps instead of one when taking into account the second conditional harmonic (the formation of two bell-shaped waves adjacent to each other and having half the bottom) as well as the sinking of the left hump and elevation of the right hump when taking into account the third harmonic. The asymmetrical profile in the form of Whittaker's function retains the length of the bottom and asymmetry in the case of the allowance for the second harmonic, but the value of the amplitude increases rapidly. When the third harmonic is taken into account, two asymmetrical humps are formed, which resemble the evolution of the symmetrical profile when the second harmonic is taken into account. Common to the evolution of symmetrical and asymmetrical profiles is the scenario of distortion of the initial profile of the wave - the formation of two symmetrical humps in the case of accounting for the second harmonic of Gauss’s function and two asymmetrical humps in the case of accounting for the third harmonic of Whittaker’s function. In the case of allowance for the third harmonic for symmetrical and asymmetrical profiles, the two humps become asymmetric but this asymmetry of profiles is different.