Функции Уолша в линейно-квадратичных задачах оптимизации линейных нестационарных систем

Abstract

На основе метода оптимизации, использующего принцип максимума в сочетании с математическим аппаратом функций Уолша для линейно-квадратичных задач оптимизации синтезированы матрицы усиления (оптимальных законов управления в виде аппроксимаций рядами Уолша, постоянные коэффициенты которых находятся решением системы линейных алгебраических уравнений. Полученные в аналитической форме оптимальные законы ввиду их кусочно-постоянного характера весьма удобны для их практической реализации. Точность полученного приближенного оптимального решения достигается выбором соответствующего числа членов разложения в ряд Уолша.

Вирішення задач аналітичного конструювання оптимального регулятора (АКОР) для стаціонарних динамічних об'єктів досить добре вивчено, і їм присвячена низка робіт. Водночас синтез оптимальних законів керування нестаціонарними динамічними об'єктами у загальному випадку — досить складне завдання, яке часто не піддається вирішенню в аналітичній формі. Це пов'язано, в першу чергу, з труднощами вирішення нестаціонарного нелінійного векторно-матричного рівняння Ріккаті. У даній статті розглядаються лінійно-квадратичні завдання синтезу замкнутого оптимального закону керування одним класом лінійних нестаціонарних систем. Визначення оптимального закону керування в рамках завдання АКОР здійснюється на основі принципу максимуму Понтрягіна. Для встановлення зв'язку між допоміжним вектором і вектором стану використовується фундаментальна матриця системи спрощених канонічних рівнянь. Слід зазначити, що, в загальному випадку, для лінійних нестаціонарних систем отримати аналітичне вираження фундаментальної матриці неможливо. У даній статті запропоновано знаходити фундаментальну матрицю системи спрощених канонічних рівнянь шляхом наближеного інтегрування лінійного матричного диференціального рівняння стану, якому вона задовольняє, з використанням математичного апарата функцій Уолша. При цьому елементи матриці оптимального закону керування також визначаються у вигляді рядів Уолша, постійні коефіцієнти яких знаходяться із системи алгебраїчних рівнянь. Оскільки елементи матриці оптимального закону керування є кусково-сталими функціями, це значно спрощує їх практичну реалізацію порівняно з нестаціонарними матрицями оптимального керування, отриманими на основі рішення рівняння Ріккаті. Точність отриманого наближеного оптимального рішення досягається вибором відповідного числа членів розкладу в ряд Уолша.

Currently, the solution of the problems of analytical design of the optimal controller (ADOC) for stationary dynamic objects is well studied and a number of works are devoted to them. At the same time, the synthesis of optimal control laws of non-stationary dynamic objects in general case is quite a complex task, which often can’t be solved in analytical form. This is primarily due to the difficulty of solving the nonstationary nonlinear vector-matrix Riccati equation. This article deals with linear-quadratic problems of synthesis of a closed optimal control law for one class of linear nonstationary systems. Determination of the optimal control law within the framework of the ADOC problem is based on the Pontryagin maximum principle. The fundamental matrix of the system of simplified canonical equations is used to establish the connection between the auxiliary vector and the state vector. In general case, it is not possible to obtain an analytical expression of the fundamental matrix for linear nonstationary systems. In this article it is proposed to find the fundamental matrix of the system of simplified canonical equations by means of approximate integration of the linear matrix differential equation of state, to which it satisfies, using the mathematical apparatus of Walsh functions. In this case, the elements of the matrix of the optimal control law are also determined in the form of Walsh series, the constant coefficients of which are found from the system of algebraic equations. Since the elements of the matrix of the optimal control law are piecewise constant functions, this greatly simplifies their practical implementation in comparison with the nonstationary matrices of optimal control obtained on the basis of the solution of the Riccati equation. The accuracy of the obtained approximate optimal solution is achieved by choosing the appropriate number of terms of the Walsh series expansion.