Гарантированные прогнозные оценки решений систем дифференциальных уравнений с динамикой Гомперца при наблюдениях в дискретные моменты времени

Abstract

Для математических моделей, заданных системами дифференциальных уравнений Гомперца при дискретных наблюдениях, предложены эффективные алгоритмы нахождения гарантированных и приближенных гарантированных прогнозных ошибок векторов состояний и их ошибок. Приведены результаты численных экспериментов (в которых решалась задача оценки прогноза динамики распространения одного вида информации в социуме), которые позволяют сделать выводы о практической ценности данного подхода. На основании этого можно утверждать о целесообразности использования предложенных алгоритмов для особых случаев общей модели распространения информации, которые, например, учитывают забывание и двухэтапное усвоение информации.

Проаналізовано модель поширення інформації в соціумі. Припускається, що в соціокомунікативному просторі поширюється n типів інформаційних повідомлень, що відрізняються за змістом. Кількість осіб, які розповсюджують один із типів інформаційних повідомлень, є ключовими показниками динаміки моделі. Розповсюдження інформаційних повідомлень відбувається через внутрішні (міжособистісне спілкування) та зовнішні (вплив засобів масової інформації) потоки. Модель представлена у вигляді системи n нелінійних диференціальних рівнянь Гомперца. Такі моделі доцільно застосовувати для практичних задач аналізу поширення інформації в соціумі, динаміка яких швидко зростає за часом, а також в силу своєї нелінійної правої частини подібні моделі претендують на адекватне представлення процесів з предметної області. Однією із практичних важливих задач, які виникають при аналізі процесів поширення інформації в соціумі, є задача знаходження прогнозних оцінок динаміки таких процесів. Для систем диференціальних рівнянь Гомперца ця задача стає нетривіальною в силу наявності натуральних логарифмів в правих частинах цих похідних. Сформульовано задачу знаходження гарантованих прогнозних оцінок векторів. І для окремого випадку цієї задачі з дискретними спостереженнями запропоновано ефективні алгоритми знаходження гарантованих та наближених гарантованих прогнозних оцінок векторів стану та похибок прогнозних гарантованих оцінок. Як приклади представлено результати знаходження гарантованих прогнозних оцінок динаміки математичної моделі розповсюдження одного виду інформації в соціумі. Результати чисельного комп’ютерного експерименту демонструють практичні можливості даного підходу. Методику можна використовувати при розробці систем підтримки прийняття рішень для аналізу процесів у соціокомунікативному просторі.

In this paper, we introduce a mathematical model of spreading information messages. Suppose, a community is influenced by one of n sources of information. The number of information made by each of the sides is taken as key parameter promoting accomplishment of aim. Information can be spread in the community along internal (interpersonal communication of the member of social community) and external information flow. The model has the form of a system of non-linear differential equations with Gompertzian dynamics and non-stationary parameters. These mathematical models can be useful for describe processes that grow rapidly over time. Systems of differential equations with Gompertzian dynamics claim to be an adequate representation of processes from the subject area because they have a non-linear right part. The problem of finding predictive an estimate of the dynamics of such processes is practically an important problem of analyzing the information spreading process in society. This problem becomes nontrivial for the systems of differential equations with Gompertz because there are natural logarithms in the right sides of these equations. We formulated the problem of finding the predictive estimation and error for the systems of differential equations with Gompertzian dynamics. We the algorithms for building guaranteed predictive estimations and error and approximate guaranteed predictive estimations offered for the special case of this problem with discrete observations. We consider the results of problem numerical experiments to build guaranteed estimates for mathematical model of spreading one type of information. The analysis of these results has demonstrated the practical meaning of the obtained approach. The obtained results can be useful for the development of decision support systems for analyzing processes in the socio-communicative space.