Схема дослідження спектра сім'ї збурених операторів та її застосування до спектральних задач у густих з'єднаннях

Abstract

Розроблено схему дослiдження асимптотичної поведiнки власних значень та власних векторiв сiм’ї самоспряжених компактних операторiв {Aε : ε > 0}, якi дiють у рiзних просторах Hε i втрачають компактнiсть у граничному переходi при ε → 0. Доведено хаусдорфову збiжнiсть спектра оператора Aε до спектра граничного оператора A0, отримано асимптотичнi оцiнки цiєї збiжностi як до точок дискретного спектра, так i до точок iстотного спектра оператора A0 та доведено асимптотичнi оцiнки для власних векторiв. Показано застосування даної схеми до вивчення асимптотичної поведiнки власних значень та власних функцiй задачi Неймана в густому сингулярно вироджувальному з’єднаннi, яке складається з двох областей, з’єднаних мiж собою ε-перiодичною системою тонких стержнiв iз фiксованою довжиною.

An abstract scheme is developed to investigate the asymptotic behaviour of eigenvalues and eigenvectors of some family of self-adjoint compact operators {Aε : ε > 0} that act in different spaces Hε and cease to be compact for ε → 0. The Hausdorff convergence of the spectrum of the operator Aε to the spectrum of the limiting operator A0 is proved. We obtain asymptotic estimates for this convergence to both the points of the discrete spectrum and the points of the essential spectrum of to operator A0; asymptotic estimates for eigenvectors of Aε are also obtained. This scheme is applied to study the asymptotic behaviour of eigenvalues and eigenfunctions of the Neumann problem in a thick singularly degenerate junction which is the union of two domains connected among themselves by an ε-periodic system of thin rods of fixed length.