Про практичний спосіб визначення довжини еліпса

Abstract

Описано практичний і високоточний спосіб визначення довжини еліпса, який не потребує використання таблиць для еліптичних інтегралів другого роду в формі Лежандра. На основі прийнятого авторами постулату, що еліпс є проєкцією кола, виведено нову універсальну формулу обчислення довжини еліпса. Оскільки еліпс є проєкцією кола, нахиленого під довільним кутом до площини, то рівняння довжини еліпса аналітич но і функціонально пов'язане з рівнянням довжини кола. Лінія проєкції кола являє собою “подвійну” і неперервну криву Жордана, при цьому співвідношення довжин осей еліпса (проєкції кола) зменшується від 1 до 0. Якщо мала вісь дорівнює 0, то довжина “подвійної” лінії проєкції дорівнює подвійному діаметру кола. Збільшуючи кут нахилу, “подвійна” лінія проєкції кола роздвоюється, формуючи еліпс, співвідношення осей якого збільшується від 0, якщо α = 90°, до 1 у випадку α = 180°. Таким чином, основним параметром запропонованого розрахунку є співвідношення довжин півосей еліпса. Це дало змогу вивести нелінійне рівняння розрахунку довжини еліпса з високою точністю в усьому інтервалі зміни відношення його осей.

The article presents a practical highly accurate way to determine the length of an ellipse, which does not require the use of tables for elliptical integrals of the second kind in the Legendre form. On the basis of the postulate accepted by the authors that the ellipse is a projection of a circle, a new universal formula for calculating the length of the ellipse is derived. Since the ellipse is a projection of a circle inclined at an arbitrary angle to the plane, the equation of the length of the ellipse is analytically and functionally related to the equation of the length of the circle. The line of projection of a circle is a “double” and continuous Jordan curve, and the ratio of the lengths of the axes of the ellipse (projection of the circle) decreases from 1 to 0. If the small axis is zero, the length of the “double” line of projection is twice the diameter of the circle. Increasing the angle of inclination, the “double” line of projection of the circle bifurcates, forming an ellipse, the ratio of the axes of which increases from zero, at α = 90°, to one, at an angle of α = 180°. Thus, the main parameter of the proposed calculation is the ratio of the lengths of the semiaxes of the ellipse. This allowed us to derive a nonlinear equation for calculating the length of the ellipse with high accuracy over the entire range of changes in the ratio of its axes.