Качественное исследование сингулярной задачи Коши для некоторого функционально-дифференциального уравнения

Abstract

Розглядається сингулярна задача Коші txprime(t) = f(t,x(t), x(g(t)), xprime(t), xprime(h(t))), x(0) = 0, де x: (0,τ) → ℝ,g:(0,τ) → (0,+∞), h:(0,τ) → (0,+∞), g(t) ≤ t, h(t) ≤ t, t ∈ (0,τ) для лінійного, збуреного лінійного і нелінійного рівнянь. У кожному випадку доведено, що існує непорожня множина неперервно дифсрсіщійовних розв'язків x:(0,ρ] → ℝ (ρ достатньо мале) з потрібними асимптотичними властивостями.

We consider the singular Cauchy problem txprime(t) = f(t,x(t), x(g(t)), xprime(t), xprime(h(t))), x(0) = 0, where x: (0,τ) → ℝ,g:(0,τ) → (0,+∞), h:(0,τ) → (0,+∞), g(t) ≤ t, and h(t) ≤ t, t ∈ (0,τ) for linear, perturbed linear, and nonlinear equations. In each case, we prove that there exists a nonempty set of continuously differentiable solutions (0,ρ] → ℝ (ρ is sufficiently small) with required asymptotic properties.