On Stability of the Cauchy Equation on Solvable Groups

Abstract

The notion of (ψ, γ)-stability was introduced in [V. A. Faiziev, Th. M. Rassias, and P. K. Sahoo, Trans. Amer. Math. Soc., 354, 4455 (2002)]. It was shown that the Cauchy equation f(xy) = f(x) + f(y) is (ψ, γ)-stable both on any Abelian group and on any meta-Abelian group. In [V. A. Faiziev and P. K. Sahoo, Publ. Math. Debrecen, 75, 6 (2009)], it was proved that the Cauchy equation is (ψ, γ)-stable on step-two solvable groups and step-three nilpotent groups. In the present paper, we prove a more general result and show that the Cauchy equation is (ψ, γ)-stable on solvable groups.

няття (ψ,γ)-стійкості введено в роботі [Fahiev V. A., Rassias Th. M., Sahoo P. K. The space of (ψ,γ)-additive mappings on semigroups//Trans. Amer. Math. Soc. - 2002. - 354. - P. 4455-4472]. Було показано, що рівняння Коші f(xy)=f(x)+f(y) є (ψ,γ)-стійким як на довільній абелевій групі, так i на довільній метабелевій групі. В роботі [Farnev V. A., Sahoo P. K. On (ψ,γ)-stability of Cauchy equation on some noncommutative groups // Publ. Math. Debrecen. - 2009. - 75. - P. 67-83] доведено, що рівняння Коші є (ψ,γ)-стійким як на двоступеневих розв'язних групах, так i на триступеневих нільпотентних групах. В нашій роботі доведено більш загальний результат i показано, що рівняння Коші є (ψ,γ)-стійким на розв'язних групах.