О неравенствах для верхних граней функционалов на классах WʳHʷ и некоторых их приложениях

Abstract

Показано, що відомі результати про оцінки верхніх граней функціоналів на класах WʳHʷ періодичних функцій можна розглядати як спеціальний випадок нерівностей типу Колмогорова для опорних функцій опуклих, множин. Це дозволило одержати ряд нових тверджень, пов'язаних з апроксимацією класів WʳHʷ та встановити їх еквівалентність, а також одержати нові точні нерівності типу Бернштейна-Нікольського, які оцінюють значення опорної функції класу Hʷ на похідних тригонометричних доліномів або поліношальних сплайнів через Lp-норми самих поліномів або сплайнів.

We show that the well-known results on estimates of upper bounds of functionals on the classes WʳHʷ of periodic functions can be regarded as a special case of Kolmogorov-type inequalities for support functions of convex sets. This enables us to prove numerous new statements concerning the approximation of the classes WʳHʷ, establish the equivalence of these statements, and obtain new exact inequalities of the Bernstein-Nikol’skii type that estimate the value of the support function of the class Hʷ on the derivatives of trigonometric polynomials or polynomial splines in terms of the Lp -norms of these polynomials and splines.