Recognition of the groups L₅(4) and U₄(4) by the prime graph

Abstract

Let G be a finite group. The prime graph of G is the graph Γ(G) whose set of vertices is the set Π(G) of all prime divisors of the order |G| and two different vertices p and q of which are connected by an edge if G has an element of order pq. We prove that if S is one of the simple groups L₅(4) and U₄(4) and G is a finite group with Γ(G) = Γ(S), then G has a normal subgroup N such that Π(N) ⊆ {2, 3, 5} and G/N≅S.

Нехай G — скiнченна група. Графом простих чисел групи G називають граф Γ(G), множиною вершин якого є множина Π(G) усiх простих дiльникiв порядку |G| i в якому двi рiзнi вершини p та q з’єднанi ребром, якщо G мiстить елемент порядку pq. Доведено, що, якщо S є однiєю з простих груп L₅(4) та U₄(4), а G є скiнченною групою, для якої Γ(G)=Γ(S), то G має нормальну пiдгрупу N таку, що Π(N)⊆{2,3,5} та G/N≅S.