Простори Хермандера на многовидах та їх застосування до еліптичних крайових задач

Abstract

Уведено розширену соболєвську шкалу на гладкому компактному многовиді з краєм. Її утворюють гільбертові простори Хермандера, для яких показником регулярності служить радіальна функція, RO-змінна на нескінченності за Авакумовичем. Ці простори не залежать від вибору локальних карт на многовиді. Уведена шкала складається з усіх гільбертових просторів, інтерполяційних для пар гільбертових просторів Соболєва, отримується інтерполяцією з функціональним параметром цих пар та замкнена відносно цієї інтерполяції. Як застосування уведеної шкали наведено теорему про нетеровість загальної еліптичної крайової задачі на відповідних просторах Хермандера і знайдено достатні умови належності її узагальнених розв’язків до простору p ≥ 0 разів неперервно диференційовних функцій.

Введена расширенная соболевская шкала на гладком компактном многообразии с краем. Ее образуют гильбертовы пространства Хермандера, для которых показателем регулярности служит радиальная функция, RO-меняющаяся на бесконечности по Авакумовичу. Эти пространства не зависят от выбора локальных карт на многообразии. Введенная шкала состоит из всех гильбертовых пространств, интерполяционных для пар гильбертовых пространств Соболева, получается интерполяцией с функциональным параметром этих пар и замкнута относительно этой интерполяции. В качестве применения введенной шкалы приведена теорема о нетеровости общей эллиптической краевой задачи на соответствующих пространствах Хермандера и найдены достаточные условия принадлежности ее обобщенных решений пространству p≥0 раз непрерывно дифференцируемых функций.

We introduce an extended Sobolev scale on a smooth compact manifold with boundary. The scale is formed by innerproduct Hörmander spaces, for which a radial function ROvarying in the sense of Avakumovic serves as a regularity index. These spaces do not depend on a choice of local charts on the manifold. The scale consists of all Hilbert spaces that are interpolation ones for pairs of innerproduct Sobolev spaces, is obtained by the interpolation with a function parameter of these pairs, and is closed with respect to this interpolation. As an application of the scale introduced, we give a theorem on the Fredholm property of a general elliptic bounda ryvalue problem on appropriate Hörmander spaces and find sufficient conditions, under which its generalized solutions belong to the space of p≥ 0 times continuously differentiable functions.