О задаче планирования движения нелинейной системы в окрестности заданной кривой

Abstract

В статье рассматривается задача приближенного отслеживания траектории для нелинейных систем, векторные поля которых удовлетворяют ранговому условию со скобками Ли первого порядка. Показано, что путем выбора подходящего разбиения кривой поставленная задача может быть сведена к последовательности локальных двухточечных задач управления. Основным результатом работы является построение семейства тригонометрических управлений, обеспечивающих движение системы в сколь угодно малой окрестности заданной кривой. С помощью разложения решений системы в ряд Вольтерры задача нахождения коэффициентов функций управления сведена к решению системы алгебраических уравнений, для которой описаны условия локальной разрешимости. Полученные результаты проиллюстрированы на нескольких примерах.

У статтi розглянуто задачу наближеного вiдстеження траєкторiї для нелiнiйних систем, векторнi поля яких задовольняють рангову умову з дужками Лi першого порядку. Показано, що вибором вiдповiдного розбиття кривої поставлену задачу може бути зведено до послiдовностi локальних двоточкових задач керування. Основним результатом роботи є побудова сiм’ї тригонометричних керувань, якi забезпечують рух системи в довiльно малому околi заданої кривої. За допомогою розкладання розв’язкiв системи в ряд Вольтерри задачу обчислення коефiцiєнтiв функцiй керувань зведено до розв’язання системи алгебраїчних рiвнянь, для якої описано умови локальної розв’язностi. Отриманi результати проiлюстровано на декiлькох прикладах.

The papers is devoted to the approximate trajectory tracking problem for nonlinear systems whose vector fields satisfy the first-order Lie brackets rank condition. It is shown that, by choosing an appropriate partition of the curve, the problem considered can be reduced to a sequence of local point-to-point control problems. The main result of the paper presents the construction of a family of trigonometric controls ensuring the motion of the system in an arbitrary small neighborhood of the given curve. By using the Volterra expansion for the solutions of the system, the problem of finding the control coefficients is reduced to solving a system of algebraic equations. The local solvability conditions for such a system are described. The results obtained are illustrated by several examples.