On the Form of Dispersive Shock Waves of the Korteweg-de Vries Equation

Abstract

We show that the long-time behavior of solutions to the Korteweg{de Vries shock problem can be described as a slowly modulated one-gap solution in the dispersive shock region. The modulus of the elliptic function (i.e., the spectrum of the underlying Schrödinger operator) depends only on the size of the step of the initial data and on the direction, x/ t =const, along which we determine the asymptotic behavior of the solution. In turn, the phase shift (i.e., the Dirichlet spectrum) in this elliptic function depends also on the scattering data, and is computed explicitly via the Jacobi inversion problem.

Показано, что поведение при большом времени решений уравнения Кортевега-де Фриза с начальными данными типа ступеньки, соответствующими волне сжатия, в области эллиптической волны может быть описано слабо модулированным двухзонным решением. Модуль этой эллиптической функции, определяемый спектром фонового оператора, зависит от размера ступеньки в начальных данных и от направления, в котором исследуется асимптотическое поведение решения. В свою очередь фазовый сдвиг (то есть спектр задачи Дирихле) в этой эллиптической функции зависит также от данных рассеяния, и он посчитан с помощью проблемы обращения Якоби.