Об определении волнового потенциала вибрирующей сферической частицы в полубесконечном цилиндре с жидкостью

Abstract

Рассматривается полубесконечная круговая цилиндрическая полость, заполненная идеальной сжимаемой жидкостью и содержащая сферическое тело, поверхность которого возбуждается с заданной частотой. Требуется построить волновой потенциал для рассматриваемой области с целью определения влияния торца цилиндра на характер полей давления и скорости в системе. Формулируется соответствующая краевая задача для уравнения Гельмгольца. Общее решение задачи строится в виде суперпозиции потенциалов, записанных с использованием цилиндрических и сферических волновых функций. Вводится в рассмотрение также "мнимая" сфера, с помощью которой реализуется условие в торцевом сечении цилиндра. Для удовлетворения граничным условиям применяются переразложения сферических волновых функций по цилиндрическим и наоборот, а также теоремы сложения сферических функций. В результате решение задачи сводится к решению бесконечной системы алгебраических уравнений, которую предлагается решать методом усечения.

Розглядається напівнескінченна кругова циліндрична порожнина, заповнена ідеальною стисливою рідиною. Порожнина містить сферичне тіло, поверхня якого збуджується з заданою частотою. Необхідно побудувати хвильовий потенціал для розгляданої області з метою визначення впливу торця циліндра на характер полів тиску і швидкості в системі. Формулюється відповідна крайова задача для рівняння Гельмгольца. Загальний розв'язок задачі будується у вигляді суперпозиції потенціалів, записаних з використанням циліндричних і сферичних хвильових функцій. Залучається до розгляду також «уявна» сфера, за допомогою якої реалізується умова в торцевому перетині циліндра. Для задоволення граничним умовам застосовуються перерозклад сферичних хвильових функцій по цилиндричних і навпаки, а також теореми додавання сферичних функцій. У результаті розв'язок задачі зводиться до нескінченної системи алгебраїчних рівнянь, яку пропонується розв'язувати методом усікання.

The semiinfinite circular cylindrical cavity filled with ideal compressible fluid and containing a spherical body, whose surface is energized with the set frequency is observed. It is required to build a wave potential for the observed area for the purpose of definition of the influence of the end face of the cylinder on the fields of pressure and velocity in the system. The matching boundary problem for the equation of Helmgoltz is formulated. The general solution is built in the form of a superposition of the potentials written with the use of cylindrical and spheri cal wave functions. “The imaginary” sphere, with which the condition in the face cross-section of the cylinder is realized, is introduced. Redecomposition of spherical wave functions is applied to satisfy the boundary conditions on cylindrical ones and on the contrary, and the theorems of addition of spherical functions are used. As a result, the problem is reduced to the solution of an infinite system of algebraic equations, which can be solved by the truncation method.