Слабонелинейная периодическая задача в случае параметрического резонанса

Abstract

Найдены необходимые и достаточные условия существования и сходящийся итерационный алгоритм для построения решений, а также собственных функций периодических краевых задач, в случае параметрического резонанса. Предложено уравнение для порождающих амплитуд для периодических краевых задач, которое в случае параметрического резонанса существенно отличается от традиционного уравнения для порождающих амплитуд в отсутствие параметрического резонанса зависимостью от малого параметра, как самого уравнения, так и его корней. В качестве примера эффективности необходимых и достаточных условий существования, а также демонстрации сходимости итерационных алгоритмов для построения решений и собственных функций периодических краевых задач в случае параметрического резонанса, исследована периодическая задача для уравнения типа Дюффинга с параметрическим возбуждением.

Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування i збiжний iтерацiйний алгоритм для побудови розв’язкiв, а також власних функцiй перiодичних крайових задач, у випадку параметричного резонансу. Запропоноване рiвняння для породжувальних амплiтуд для перiодичних крайових задач у випадку параметричного резонансу iстотно вiдрiзняється вiд традицiйного рiвняння для породжувальних амплiтуд у вiдсутностi параметричного резонансу залежнiстю вiд малого параметра, як самого рiвняння, так i його коренiв. Як приклад ефективностi необхiдних i достатнiх умов iснування, а також демонстрацiї збiжностi iтерацiйних алгоритмiв для побудови розв’язкiв i власних функцiй перiодичних крайових задач, у випадку параметричного резонансу, дослiджено перiодичну задачу для рiвняння типу Дюффiнга з параметричним збудженням.

We construct necessary and sufficient conditions for the existence of solution of seminonlinear periodical boundary value problem for a parametric excitation system of ordinary differential equations. The convergent iteration algorithms for the construction of the solutions of the semi-nonlinear periodical boundary value problem for a parametric excitation system differential equations in the critical case have been found. Using the convergent iteration algorithms we expand solution of seminonlinear periodical boundary value problem for a parametric excitation Duffing type equation in the neighborhood of the generating solution. Estimates for the value of residual of the solutions of the seminonlinear periodical boundary value problem for a parametric excitation Duffing type equation are found.