Метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью

Abstract

Построение бифуркационных диаграмм одна из основных задач анализа динамических систем и основным инструментом для этих целей, в последние десятилетия, является метод точечных отображений, восходящий к Пуанкаре. В работе развивается традиционный для 50-х годов подход, основанный на методе гармонического баланса. Изложены концептуальные особенности его применения при учете большого количества гармоник, приводятся результаты его использования к анализу колебательной системы с одной степенью свободы и полиномиальной упругой и диссипативной характеристиками. Проведен анализ колебаний системы в зонах суб- и супергармонических резонансов, отмечены некоторые новые особенности в их возбуждении.

Побудова бiфуркацiйних дiаграм є однiєю з основних задач аналiзу динамiчних систем i основним iнструментом для цих цiлей, в останнi десятилiття, є метод точкових вiдображень, висхiдний до Пуанкаре. У роботi розвивається традицiйний для 50-х рокiв пiдхiд, заснований на методi гармонiчного балансу. Викладено концептуальнi особливостi його застосування при облiку великої кiлькостi гармонiк, наводяться результати його використання до аналiзу коливальної системи з одним ступенем свободи i полiномiальною пружною i дисипативною характеристиками. Проведено аналiз коливань системи в зонах суб- i супергармонiчних резонансiв, вiдзначено деякi новi особливостi в їх збудженнi.

Plotting of the bifurcation diagrams is one of the important problems in the analysis of dynamical systems. In recent decades the main instrument for this purpose is the method of point transformations, which goes back to Poincare. In paper we develop a traditional for 50’ies approach based on the harmonic balance method. The conceptual features of its application, taking into account a large number of harmonics, are considered, the results of its use for analysis of the oscillatory system with one degree of freedom and polynomial elastic and dissipative characteristics are presented. Oscillations of the system in areas of sub- and superharmonic resonances are studied, new features in their behavior are discovered.