Analytic and numerical study of a hierarchical spin model

Abstract

A simple hierarchical scalar spin model is studied analytically and numerically in the vicinity of its critical point. The dependence of the finite size (i.e. calculated for a large but finite number of spins) susceptibility and the location of zeros of the model partition function on the number of spins at the critical point is described analytically. It is also shown analytically that the finite size correlation length in such a model diverges at the critical point slower than it is supposed in the finite size scaling theory. Certain numerical information about the critical point and ordered phase is given. In particular, the critical temperature of the model and the critical index describing the order parameter are calculated for various values of the interaction parameter.

На основі аналітичних і чисельних методів вивчається проста ієрархічна скалярна спінова модель в околі її критичної точки. Аналітично описані залежності сприйнятливості і локалізації нулів статистичної суми моделі скінченого розміру (тобто, великого, але скінченого числа спінів) від кількості спінів поблизу критичної точки. Шляхом аналітичного розрахунку, зокрема, показано, що кореляційна довжина моделі скінченого розміру розбігається в критичній точці слабше ніж це передбачалось скейлінговою теорією. Обчислена критична температура і знайдений критичний показник параметра порядку для різних значень параметра взаємодії.