Selection-mutation balance models with epistatic selection

Abstract

We present an application of birth-and-death processes on configuration spaces to a generalized mutationselection balance model. The model describes the aging of population as a process of accumulation of mutations in a genotype. A rigorous treatment demands that mutations correspond to points in abstract spaces. Our model describes an infinite-population, infinite-sites model in continuum. The dynamical equation which describes the system, is of Kimura-Maruyama type. The problem can be posed in terms of evolution of states (differential equation) or, equivalently, represented in terms of Feynman-Kac formula. The questions of interest are the existence of a solution, its asymptotic behavior, and properties of the limiting state. In the non-epistatic case the problem was posed and solved in [Steinsaltz D., Evans S.N., Wachter K.W., Adv. Appl. Math., 2005, 35(1)]. In our model we consider a topological space X as the space of positions of mutations and the influence of an epistatic potential on these mutations.

Ми представляємо застосування процесiв народження-знищення на конфiгурацiйних просторах до узагальненої моделi селекцiйно-мутацiйного балансу. Модель описує старiння популяцiї як процес накопичення мутацiй в генотипi. В математично строгому пiдходi мутацiї вiдповiдають точкам у абстрактному просторi. Наша модель описує нескiнчено-популяцiйну модель з безмежною кiлькiстю точок у континуумi. Динамiчне рiвняння, що описує систему, є типу Кiмури-Маруями. Проблема може бути поставлена в термiнах еволюцiї станiв (диференцiальнi рiвняння) або, що є еквiвалентно, за допомогою формули Фейнмана-Каца. Дослiджується питання iснування розв’язку, його асимптотичної поведiнки, властивостi граничного стану. У неепiстатичному випадку проблема була поставлена i розв’язана у [Steinsaltz D., Evans S.N., Wachter K.W., Adv. Appl. Math., 2005, 35(1)]. В нашiй моделi ми розглядаємо топологiчний простiр X як простiр позицiй мутацiй та вплив на епiстатичний потенцiал.