Проблеми керованостi для хвильового рiвняння на пiвплощинi та модифiкованi простори Соболєва

Abstract

Двовимiрне хвильове рiвняння wtt = Δw, t ∈ (0, T), на пiвплощинi x₁ > 0, кероване крайовою умовою Дiрiхле w(0, x₂, t) = δ(x₂)u(t), дослiджене в просторах Соболєва, де T > 0 — деяка стала, а u ∈ L^∞(0, T) — керування. Цю керовану систему трансформовано в деяку керовану систему для одновимiрного хвильового рiвняння в модифiкованих просторах Соболєва. Цi простори вiдiграють важливу роль у дослiдженнi. Для одновимiрної задачi керування одержано необхiднi i достатнi умови (наближеної) L^∞-керованостi. Також доведено, що двовимiрна керована система вiдтворює властивостi керованостi одновимiрної керованої системи i навпаки. Нарештi, необхiднi i достатнi умови (наближеної) L^∞-керованостi одержано для вихiдної двовимiрної задачi керування.

Двумерное волновое уравнение wtt = Δw, t ∈ (0, T), на полуплоскости x₁ > 0, управляемое краевым условием Дирихле w(0, x₂, t) = δ(x₂)u(t), исследовано в пространствах Соболева, где T > 0 — некоторая постоянная, а u ∈ L^∞(0, T) — управление. Эта управляемая система трансформирована в некоторую управляемую систему для одномерного волнового уравнения в модифицированных пространствах Соболева. Эти пространства играют важную роль в исследовании. Для одномерной задачи управления получены необходимые и достаточные условия (приближенной) L^∞-управляемости. Также доказано, что двумерная управляемая система воспроизводит свойства управляемости одномерной управляемой системы и наоборот. Наконец, необходимые и достаточные условия (приближенной) L^∞-управляемости получены для исходной двумерной задачи управления.

The 2-d wave equation wtt = Δw, t ∈ (0, T), on the half-plane x₁ > 0 controlled by the Dirichlet boundary condition wx1(0, x₂, t) = δ(x₂)u(t) is considered in Sobolev spaces, where T > 0 is a constant and u ∈ L^∞(0, T) is a control. This control system is transformed to a control system for the 1-d wave equation in modified Sobolev spaces. These spaces play an important role in the study. Necessary and sufficient conditions of (approximate) L^∞-controllability are obtained for the 1-d control problem. It is also proved that the 2-d control system replicates the controllability properties of the 1-d control system and vice versa. Finally, necessary and sufficient conditions of (approximate) L^∞-controllability are obtained for the original 2-d control problem.