Про порівнянні та непорівнянні міри Хаусдорфа

Abstract

Розвиток загальних методiв обчислення розмiрностi Хаусдорфа–Безиковича — одна з центральних проблем теорiї фракталiв. Дослiджено тривiальнiсть (нетривiальнiсть) мережевих мiр Хаусдорфа. Знайдено достатнi умови, при виконаннi яких сiмейства локально тонких покриттiв породжують порiвняннi мережевi мiри Хаусдорфа H^α(·,Φ). Також знайдено загальнi достатнi умови довiрчостi для обчислення розмiрностi Хаусдорфа–Безиковича локально тонких систем покриттiв. Доведено довiрчiсть сiмейства цилiндричних вiдрiзкiв факторiальної системи числення. Показано, що клас довiрчих покриттiв суттєво ширший за клас покриттiв, якi породжують порiвняннi мережевi мiри Хаусдорфа.

Развитие общих методов вычисления размерности Хаусдорфа–Безиковича — одна из з центральных проблем теории фракталов. Исследована тривиальность (нетривиальность) сетевых мер Хаусдорфа. Найдены достаточные условия, при выполнении которых семейства локально тонких покрытий порождают сравнимые сетевые меры Хаусдорфа H^α(·,Φ). Также найдены общие достаточные условия доверительности для вычисления размерности Хаусдорфа–Безиковича локально тонких систем покрытий. Доказана доверительность семейства цилиндрических отрезков факториальной системи исчисления. Показано, что класс доверительных покрытий существенно шире класса покрытий, порождающих сравнимые сетевые меры Хаусдорфа.

General methods of calculation of the Hausdorff–Besicovitch dimension are developed, and the triviality (non-triviality) of net Hausdorff measures is studied. Sufficient conditions for a fine covering family to generate comparable net Hausdorff measures H^α(·,Φ) are given. General sufficient conditions for a fine covering family to be faithful are also found. The faithfulness for the family of coverings generated by the factorial expansion for real numbers is proved. It is shown that the family of faithful coverings is essentially wider than the family of coverings generating the comparable net Hausdorff measures.