Some recent developments in theory of fractional positive and cone linear systems

Abstract

The overview of some recent developments and new results in the theory of fractional positive and cone one-dimensional (1D) and two-dimensional (2D) linear systems are presented in the article. The state equations and their solution for the fractional continuous-time and discrete-time linear systems are given. Necessary and sufficient conditions for the internal and external positivity of the fractional linear systems are established. The reachability of the fractional linear systems is addressed. A new notation of the cone systems is introduced and methods for computation of such systems are proposed. Positive fractional 2D linear systems are intoduced. Necessary and sufficient conditions for the positivity and reachability are established. The considerations are illustrated with many examples of 1D and 2D linear systems.

Запропоновано огляд та деякі нові результати у теорії фракційних додатніх та конусних одновимірних (1D) та двовимірних (2D) лінійних систем. Подано рівняння стану та їхнє розв’язання для фракційних неперервних та дискретних лінійних систем. Встановлено необхідні та достатні умови для внутрішньої та зовнішньої додатності фракційних лінійних систем. Показано їхню досяжність. Запропоновано нову форму запису конусних систем та методи, придатні для комп’ютерного розрахунку таких систем. Представлено додатні фракційні 2D лінійні системи. Встановлено необхідні та достатні умови для додатності та досяжності. Теоретичні виклади проілюстровано чисельними прикладами 1D та 2D лінійних систем.

Предложены анализ состояния вопроса и некоторые новые результаты, полученные в теории фракционных положительных и конусных одномерных (1D) и двумерных (2D) линейных систем. Приведены уравнения состояния и их решения для фракционных непрерывных и дискретных линейных систем. Выявлены необходимые и достаточные условия для внутренней и внешней положительности фракционных линейных систем. Показана их достижимость. Предложена новая форма записи конусных систем, а также методы их компьютерного расчета. Представлены положительные фракционные 2D линейные системы. Установлены необходимые и достаточные условия для положительности и достижимости. Теоретические выкладки иллюстрированы численными примерами 1D и 1D линейных систем.