Основные свойства характеристических линий бифуркационных диаграмм

Abstract

Исследованы основные свойства двух типов характеристических линий бифуркационных диаграмм: ветвей и линий отражения экстремума. Устойчивые ветви бифуркационных диаграмм связаны непосредственно с каскадом бифуркаций удвоения, который приводит к детерминированному хаосу. Неустойчивые ветви и линии отражения экстремума определяют свойства хаотических колебаний. При взаимодействии двух типов характеристических линий в хаосе образуются окна периодичности. Выявлена связь между свойствами характеристических линий и кратностью окон периодичности. Исследование проведено на одномерной логистической функции отображения. Однако поскольку полученные результаты достаточно универсальны, они могут найти применение и при исследовании нелинейных динамических систем, в частности электрических цепей с дугой.

Досліджено основні властивості двох типів характеристичних ліній біфуркаційних діаграм: гілок та ліній відображення екстремуму. Стійкі гілки біфуркаційних діаграм зв’язані безпосередньо з каскадом біфуркацій подвоєння, який приводить до детермінованого хаосу. Нестійкі гілки та лінії відображення екстремуму визначають властивості хаотичних коливань. При взаємодії двох типів характеристичних ліній в хаосі виникають вікна періодичності. Виявлено зв’язок між властивостями характеристичних ліній і кратністю вікон періодичності. Дослідження проведено на одномірній логістичній функції відображення. Але оскільки одержані результати достатньо універсальні, вони можуть знайти застосування і при дослідженні нелінійних динамічних систем, зокрема електричних кіл з дугою.

The basic properties of two types of characteristic lines of bifurcation diagrams: branches and lines of the extremum reflection have been studied. The steady branches of bifurcation diagrams are directly connected with a cascade of doubling bifurcations which leads to the determined chaos. Non-steady branches and lines of the extremum reflection determine properties of chaotic oscillations. The windows of periodicity are formed under interaction of two types of characteristic lines in chaos. The relation between the properties of characteristic lines and multiplicity of periodicity windows has been revealed. The investigation was conducted on one-dimensional logistic function of reflection. But since the obtained results are rather universal, they can be also used when investigating the nonlinear dynamic systems, in particular electric chains with an arc.