Модальное моделирование нелинейных плесканий жидкости в баках с невертикальными стенками. Методика неконформных отображений

Abstract

Анализируются нелинейные плескания идеальной несжимаемой жидкости (потенциальные течения). Жидкость частично занимает гладкий бак с невертикальными стенками. Опрокидывающиеся волны, буруны и мелководные волны исключаются из рассмотрения. Развивается техника неконформных отображений Луковского (1975). Она предполагает, что внутренность бака может быть трансформирована в некоторую цилиндрическую область, в которой уравнение свободной поверхности допускает нормальную форму и модальное представление. Допустимые тензорные трансформации неизбежно имеют сингулярности при отображении нижней (верхней) угловой точки бака в дно (потолок) цилиндра. Это ведет к вырождению спектральной задачи о собственных колебаниях. Статья представляет математическую теорию таких спектральных задач и устанавливает соответствующие спектральные и вариационные теоремы. Собственные формы в круговом коническом баке вычисляются с помощью вариационного алгоритма, основанного на этих теоремах. Показано, что алгоритм робастый и численно эффективный как для низших, так и высших мод. В статье показано, что известная бесконечномерная модальная система Луковского (построенная ранее для плескания в цилиндрических баках) остается инвариантной относительно допустимых тензорных преобразований (при поступательных движениях сосуда). Это делает возможным предложить простой алгоритм построения модальных систем для исследуемого случая. Используя анзатц Луковского, выводится пятимерная модальная система для нелинейных плесканий в круговом коническом баке.

Аналiзуються нелiнiйнi плескання iдеальної нестисливої рiдини (потенцiальнi течiї). Рiдина частково займає гладкий бак iз невертикальними стiнками. Хвилi, що опрокидуються, буруни та мiлководнi хвилi виключаються iз розглядання. Розвивається технiка неконформних вiдображень Луковського (1975). Вона передбачає, що внутрiшнiсть бака може бути трансформована в деяку цилiндричну область, в якiй рiвняння вiльної поверхнi допускає нормальну форму i модальне представлення. Допустимi тензорнi трансформацiї мають сингулярностi при вiдображеннi нижньої (верхньої) кутової точки бака в дно (стелю) цилiндра. Це веде до виродження спектральної задачi про власнi коливання. Стаття представляє математичну теорiю таких спектральних задач i встановлює вiдповiднi спектральнi та варiацiйнi теореми. Власнi форми в коловому конiчному баку визначаються за допомогою варiацiйного алгоритму, що базується на цих теоремах. Показано, що алгоритм робастий i чисельно ефективний як для нижчих, так i для вищих мод. E статтi показано, що вiдома нескiнченномiрна модальна система Луковського (побудована ранiше для плескання в цилiндричних баках) лишається iнварiантною вiдносно допустимих тензорних перетворень (при поступальних рухах сосуду). Це дає можливiсть запропонувати простий алгоритм побудови модальних систем для випадку, що дослiджується. Використовуючи анзатц Луковського, виводиться п'ятимiрна модальна система для нелiнiйних плескань e коловому конiчному баку.

Nonlinear sloshing of an incompressible fluid with irrotational flow is analysed. The fluid occupies partly a smooth tank with walls having non-cylindrical shape. No overturning, breaking and shallow water waves are assumed. Non-conformal mapping technique by Lukovsky (1975) is developed. It assumes that tank's cavity can be transformed into an artificial cylindrical domain, where equation of free surface allows both normal form and modal representation of instantaneous surface shape. Admissible tensor transformations have due singularities in mapping the lower (upper) corners of the tank into artificial bottom (roof). It leads to degenerating spectral boundary problems on natural modes. The paper delivers the mathematical background for these spectral problem and establishes the spectral and variational theorems. Natural modes in circular conical cavity are calculated by variational algorithm based on these theorems. It is shown that the algorithm is robust and numerically efficient for calculating both lower and higher natural modes. Finally, the paper shows that the well-known infinite-dimensional modal systems by Lukovsky (derived for sloshing in cylindrical tank) keep invariant structure with respect to admissible tensor transformations (for translatory motions of the vehicle). This makes it possible to offer the simple derivation algorithm of nonlinear modal systems for the studied case. When utilising anzatz by Lukovsky we derive the five-dimensional modal system for nonlinear sloshing in circular conic tanks.